Pseudospectrum for non-selfadjoint operators
Etude du pseudo-spectre d'opérateurs non auto-adjoints
Résumé
We study in this thesis the pseudospectrum of a class of non selfadjoint operators. More precisely, our work consists in the detailed study of microlocal properties, which rule the spectral stability or instability phenomena appearing under small perturbations for differential operators defined in Weyl quantization by complex valued elliptic quadratic symbols. We establish in this thesis a simple necessary and sufficient condition on the Weyl symbol of such operators, which ensures the stability of theirs spectra. When this condition is violated, we prove that it occurs some strong spectral instabilities for the high energies of these operators in some regions -- which can be far away from theirs spectra -- we give a precise geometrical description. To underline such spectral instabilities, we need to study and to establish some geometrical conditions, which ensure the existence of semiclassical quasimodes for general pseudodifferential operators.
On s'intéresse dans cette thèse au pseudo-spectre d'une classe particulière d'opérateurs non auto-adjoints. Plus précisément, on étudie les propriétés microlocales régissant les phénomènes de stabilité ou d'instabilité spectrale qui apparaissent sous l'effet de petites perturbations pour les opérateurs différentiels définis en quantification de Weyl par des symboles quadratiques elliptiques à valeurs complexes. Nous établissons dans ce manuscript une condition nécessaire et suffisante simple portant sur le symbole de Weyl de tels opérateurs, qui assure la stabilité de leurs spectres. Lorsque cette condition est violée, nous démontrons qu'il se développe de très fortes instabilités spectrales pour les hautes énergies de ces opérateurs dans des régions -- qui peuvent être très éloignées de leurs spectres -- dont nous donnons une description géométrique précise. Pour mettre en évidence de telles instabilités spectrales, nous sommes amenés à étudier et à établir certaines conditions géométriques assurant l'existence de quasi-modes semi-classiques pour des opérateurs pseudo-différentiels généraux.
Loading...