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Université Paris Dauphine - Paris IX (06/07/2006), Éric SÉRÉ (Dir.)
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Étude de la stabilité des petites solutions
stationnaires pour une classe d'équations de Dirac non linéaires
Nabile Boussaid1

Cette thèse est consacrée à l'étude de la
stabilité de petits états stationnaires d'une équation d'évolution
non linéaire issue de la mécanique quantique relativiste :
l'équation de Dirac non linéaire.

Tout le long de notre étude, les équations non linéaires sont vues
comme des petites perturbations non linéaires de systèmes linéaires.
Une partie de cette thèse est donc consacrée à l'étude de problèmes
linéaires. Nous montrons que, pour un opérateur de Dirac n'ayant pas
de résonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, le
propagateur vérifie des estimations de propagation et de dispersion.
Nous en déduisons également des estimations de régularité au sens de
Kato et des estimations de Strichartz.

En faisant des hypothèses ad hoc sur le spectre discret d'un
opérateur de Dirac, nous construisons des petites variétés formées
d'états stationnaires. Puis en faisant varier ces hypothèses, nous
faisons apparaître des phénomènes de stabilisation et d'instabilité
orbitale pour certains de ces états.
1:  CEREMADE - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision
équations aux dérivées partielles – opérateur de Dirac – estimations de propagation – estimations dedispersion – estimations de régularité – estimations de Strichartz – équation de Dirac non linéaire – états stationnaires – stabilité – stabilité orbitale – stabilité asymptotique – directions stables

A study of the stability of small stationary
solutions for a class of nonlinear Dirac equations
This thesis is devoted to the study of
the stability of small stationary solutions of a nonlinear time
dependent equation coming from relativistic quantum mechanics: the
nonlinear Dirac equation.

In this study, non linear equations are viewed as small nonlinear
perturbations of linear systems. A part of this thesis is hence
devoted to the study of linear problems. We prove that for a Dirac
operator, with no resonance at thresholds nor eigenvalue at
thresholds, the propagator satisfies propagation and dispersive
estimates. We also deduce smoothness estimates in the sense of Kato
and Strichartz estimates.

With some ad hoc assumptions on the discrete spectrum of a
Dirac operator, we build small manifolds of stationary states. Then
with small variations on these assumptions, we can highlight some
stabilization process and orbital instability phenomena for some
stationary states.
Partial Differential Equations – DiracOperator – Propagation estimates – Dispersive estimates – Smoothnessestimates – Strichartz estimates – Nonlinear Dirac equation – Stationary states – Stabilty – Orbital stability – Asymptoticstability – Stable directions

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