Random walk on the infinite cluster of the percolation model.
Marches aléatoires sur un amas infini de percolation.
Résumé
In this thesis, we consider a simple random walk on the infinite cluster of the percolation model on the edges of $\Z^d\ (d\geq 2)$ with law $Q$, in the surcritical case. We look at the Laplace transformation of some functional of local times of this walk. In the first part, we investigate the particular case of the Laplace transformation of
the number of visited sites up to time $n$, called $N_n$. We prove that this quantity has the same behaviour as the random walk on $\Z^d$.
More precisely, we show for all $0<\alpha<1$, there exists some constants $C_i, \ C_s >0$ such that for almost all realisations of
the percolation such that the origin belongs to the infinite cluster and for large enough $n$,$$ e^{-C_i n^{ \frac{d}{d+2} } } \leq \E_0^{\omega} ( \alpha^{N_n} )
\leq e^{-C_sn^{ \frac{d}{d+2} }}.$$
In the second part, we extend this kind of estimate
for other functionals. For these problems, the main work is to get the upper bound. Our approach is based, first on finding an isoperimetric inequality on the infinite cluster and secondly to lift it on a wreath
product, which enables us to get an upper bound of the return probability of a particular random walk on this wreath product. The introduction of a wreath product is motivated by the fact that the
return probability on such graph is linked to the Laplace transform of some functional of the locals times for a good choice of the fibers.
Finally, in the last part we explain with details and in a general case, following ideas of A.Erschler, how to get a isoperimetric inequality on a wreath product of two graphs from an isoperimetric inequality on each graphs.
the number of visited sites up to time $n$, called $N_n$. We prove that this quantity has the same behaviour as the random walk on $\Z^d$.
More precisely, we show for all $0<\alpha<1$, there exists some constants $C_i, \ C_s >0$ such that for almost all realisations of
the percolation such that the origin belongs to the infinite cluster and for large enough $n$,$$ e^{-C_i n^{ \frac{d}{d+2} } } \leq \E_0^{\omega} ( \alpha^{N_n} )
\leq e^{-C_sn^{ \frac{d}{d+2} }}.$$
In the second part, we extend this kind of estimate
for other functionals. For these problems, the main work is to get the upper bound. Our approach is based, first on finding an isoperimetric inequality on the infinite cluster and secondly to lift it on a wreath
product, which enables us to get an upper bound of the return probability of a particular random walk on this wreath product. The introduction of a wreath product is motivated by the fact that the
return probability on such graph is linked to the Laplace transform of some functional of the locals times for a good choice of the fibers.
Finally, in the last part we explain with details and in a general case, following ideas of A.Erschler, how to get a isoperimetric inequality on a wreath product of two graphs from an isoperimetric inequality on each graphs.
Dans cette thèse, on s'intéresse à une marche aléatoire simple
sur un amas infini issu d'un processus de percolation surcritique sur les arêtes de $\Z^d \ (d \geq 2)$ de loi $Q$. On étudie des
transformées de Laplace de certaines fonctionnelles des temps locaux de cette marche. Dans une première partie, on s'intéresse au cas particulier de la transformée de Laplace du nombre de points visités au temps $n$, noté $N_n$. On montre notamment que cette quantité a un comportement similaire au cas où la marche évolue dans $\Z^d$. Plus précisément, on établit que pour tout $0<\alpha<1$, il existe des constantes $C_i, \ C_s >0$ telles que pour presque toute réalisation de la percolation telle que l'origine appartienne à l'amas infini et pour $n$ assez grand, $$ e^{-C_i n^{ \frac{d}{d+2} } } \leq \E_0^{\omega} ( \alpha^{N_n} ) \leq e^{-C_sn^{ \frac{d}{d+2} }}.$$
Dans une seconde partie, on généralise ce type d'estimées pour d'autres fonctionnelles. Dans ce type de problème, le point principal du travail réside dans l'obtention de la borne supérieure. Notre approche consiste dans un premier temps, à trouver une famille d'inégalité
isopérimétrique sur l'amas infini, et dans un deuxième temps à la remonter sur un produit en couronne, ce qui nous permet
alors d'obtenir une majoration de la probabilité de retour d'une certaine marche sur ce produit en couronne. L'introduction d'un produit en couronne est justement motivée par le fait que la probabilité de retour sur un tel graphe peut s'interprèter comme l'espérance de la transformée de Laplace de certaines fonctionnelles des temps locaux pour un bon choix des fibres.
Enfin, dans la dernière partie, il est expliqué en détail et de manière générale, en suivant la stratégie d'A. Erschler, comment obtenir une inégalité isopérimétrique sur un produit en couronne de deux graphes à partir d'inégalité isopérimétrique de chacun des deux graphes.
sur un amas infini issu d'un processus de percolation surcritique sur les arêtes de $\Z^d \ (d \geq 2)$ de loi $Q$. On étudie des
transformées de Laplace de certaines fonctionnelles des temps locaux de cette marche. Dans une première partie, on s'intéresse au cas particulier de la transformée de Laplace du nombre de points visités au temps $n$, noté $N_n$. On montre notamment que cette quantité a un comportement similaire au cas où la marche évolue dans $\Z^d$. Plus précisément, on établit que pour tout $0<\alpha<1$, il existe des constantes $C_i, \ C_s >0$ telles que pour presque toute réalisation de la percolation telle que l'origine appartienne à l'amas infini et pour $n$ assez grand, $$ e^{-C_i n^{ \frac{d}{d+2} } } \leq \E_0^{\omega} ( \alpha^{N_n} ) \leq e^{-C_sn^{ \frac{d}{d+2} }}.$$
Dans une seconde partie, on généralise ce type d'estimées pour d'autres fonctionnelles. Dans ce type de problème, le point principal du travail réside dans l'obtention de la borne supérieure. Notre approche consiste dans un premier temps, à trouver une famille d'inégalité
isopérimétrique sur l'amas infini, et dans un deuxième temps à la remonter sur un produit en couronne, ce qui nous permet
alors d'obtenir une majoration de la probabilité de retour d'une certaine marche sur ce produit en couronne. L'introduction d'un produit en couronne est justement motivée par le fait que la probabilité de retour sur un tel graphe peut s'interprèter comme l'espérance de la transformée de Laplace de certaines fonctionnelles des temps locaux pour un bon choix des fibres.
Enfin, dans la dernière partie, il est expliqué en détail et de manière générale, en suivant la stratégie d'A. Erschler, comment obtenir une inégalité isopérimétrique sur un produit en couronne de deux graphes à partir d'inégalité isopérimétrique de chacun des deux graphes.
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