Models, Analysis and Numerical approximation in fluid mechanics
Modélisation, Analyse et Approximation numérique en mécanique des fluides
Résumé
This work is devoted to the derivation of models for complex fluids flows, to their theoretical analysis but also to the construction and analysis of adapted numerical methods.
In a first part, we are interested in diffuse interface models for multi-phase incompressible flows. We first propose various results concerning two-phase models, then we concentrate on the generalisation of the models to three-phase flows, which lead us to the important notion of consistency of the models. Numerical results confirm that the proposed models are physically relevant. Then, we consider the more classical non-homogeneous incompressible Navier-Stokes problem for which we propose a nonlinear open outflow boundary condition that we analyse. One of the tool developed to this end but interesting for itself, is the sharp study of trace properties for solutions to the transport equation with Sobolev regularity velocity field.
In a second part, we are interested in the finite volume numerical approximation of solutions to nonlinear monotonic elliptic problems (like the p-laplacian). We describe, in a first chapter, various results obtained for cartesian meshes. The second chapter is devoted to the study of more general geometric situations in the Discrete duality framework. We pay a particular attention to the case where the coefficients of the problem are allowed to be discontinuous, which leads to nonlinear transmission problems.
We conclude by describing some related workd, concerning a class of finite volume schems for linear elliptic problems on non-orthogonal meshes in the one hand, and a numerical study of coupled 2D/1D models coming from the asymptotic modeling of flows in fractured porous media, in the other hand.
In a first part, we are interested in diffuse interface models for multi-phase incompressible flows. We first propose various results concerning two-phase models, then we concentrate on the generalisation of the models to three-phase flows, which lead us to the important notion of consistency of the models. Numerical results confirm that the proposed models are physically relevant. Then, we consider the more classical non-homogeneous incompressible Navier-Stokes problem for which we propose a nonlinear open outflow boundary condition that we analyse. One of the tool developed to this end but interesting for itself, is the sharp study of trace properties for solutions to the transport equation with Sobolev regularity velocity field.
In a second part, we are interested in the finite volume numerical approximation of solutions to nonlinear monotonic elliptic problems (like the p-laplacian). We describe, in a first chapter, various results obtained for cartesian meshes. The second chapter is devoted to the study of more general geometric situations in the Discrete duality framework. We pay a particular attention to the case where the coefficients of the problem are allowed to be discontinuous, which leads to nonlinear transmission problems.
We conclude by describing some related workd, concerning a class of finite volume schems for linear elliptic problems on non-orthogonal meshes in the one hand, and a numerical study of coupled 2D/1D models coming from the asymptotic modeling of flows in fractured porous media, in the other hand.
Ce travail est dédié à la mise en place de modèles d'écoulements de fluides complexes, à leur analyse théorique ainsi qu'au développement et à l'analyse de convergence de schémas numériques appropriés.
Une première partie du travail concerne l'étude de modèles dits à interface diffuse pour les écoulements incompressibles multiphasiques. Après une étude assez précise du cadre diphasique, on propose la généralisation au cadre triphasique, ce qui nécessite d'introduire la notion importante de consistance des modèles. Des résultats numériques confirment la pertinence des modèles proposés. Ensuite, on s'intéresse au modèle plus classique de Navier-Stokes non-homogène incompressible pour lequel on établit le caractère bien posé du problème pour des conditions aux limites ouvertes non-linéaires en sortie d'un écoulement. Une brique essentielle de ce travail est l'étude détaillée du problème de traces pour l'équation de transport associée à un champ de vitesse peu régulier. Ce travail, dont l'intérêt dépasse le cadre applicatif décrit ci-dessus, fait l'objet d'un chapitre à part entière.
Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'approximation numérique par des méthodes de volumes finis des solutions de problèmes elliptiques non-linéaires monotones (du type p-laplacien). Un premier chapitre décrit un certain nombre de résultats obtenus dans le contexte de maillages cartésiens. Un second chapitre est consacré à l'étude d'un cadre géométrique plus général par le biais de méthodes dites en dualité discrète. Une attention particulière est portée au cas où les coefficients du problème présentent des discontinuités spatiales, ce qui mène à des problèmes de transmission non-linéaire entre deux milieux.
Le mémoire s'achève par la description de quelques travaux connexes, d'une part sur une classe de schémas VF pour les équations elliptiques linéaires adaptés à des maillages non orthogonaux, et d'autre sur l'étude numérique de problèmes elliptiques couplés 2D/1D issus de la description asymptotique d'écoulements dans des milieux poreux fracturés.
Une première partie du travail concerne l'étude de modèles dits à interface diffuse pour les écoulements incompressibles multiphasiques. Après une étude assez précise du cadre diphasique, on propose la généralisation au cadre triphasique, ce qui nécessite d'introduire la notion importante de consistance des modèles. Des résultats numériques confirment la pertinence des modèles proposés. Ensuite, on s'intéresse au modèle plus classique de Navier-Stokes non-homogène incompressible pour lequel on établit le caractère bien posé du problème pour des conditions aux limites ouvertes non-linéaires en sortie d'un écoulement. Une brique essentielle de ce travail est l'étude détaillée du problème de traces pour l'équation de transport associée à un champ de vitesse peu régulier. Ce travail, dont l'intérêt dépasse le cadre applicatif décrit ci-dessus, fait l'objet d'un chapitre à part entière.
Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'approximation numérique par des méthodes de volumes finis des solutions de problèmes elliptiques non-linéaires monotones (du type p-laplacien). Un premier chapitre décrit un certain nombre de résultats obtenus dans le contexte de maillages cartésiens. Un second chapitre est consacré à l'étude d'un cadre géométrique plus général par le biais de méthodes dites en dualité discrète. Une attention particulière est portée au cas où les coefficients du problème présentent des discontinuités spatiales, ce qui mène à des problèmes de transmission non-linéaire entre deux milieux.
Le mémoire s'achève par la description de quelques travaux connexes, d'une part sur une classe de schémas VF pour les équations elliptiques linéaires adaptés à des maillages non orthogonaux, et d'autre sur l'étude numérique de problèmes elliptiques couplés 2D/1D issus de la description asymptotique d'écoulements dans des milieux poreux fracturés.
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