Some properties of q-Gaussian von neumann algebras
Quelques propriétés des algèbres de von Neumann
engendrées par des q-Gaussiens
Résumé
This work is at the crossroads of operator algebra and
non-commutative probability theories. Some properties of
$\Gamma_{q}(H_{\R})$ are investigated, where $\Gamma_{q}(H_{\R})$
stands for the von Neumann algebra generated by non-commutative
$q$-deformed Gaussian variables . These variables are given as
operators acting on a $q-$deformed Fock space where the
$q$-canonical commutation relations are realized by non-commutative
shift operators.
Some $L^{\infty}$-Khintchin type inequalities with operator
coefficients, concerning Wick products of a given length, are
discussed and established in the first chapter. These inequalities
extend, on the one hand Haagerup's scalar inequalities in the free
case and, on the other hand Bo\.zejko and Speicher's operator
coefficients inequalities for $q$-Gaussians. From those inequalities
follows the non-injectivity of $\Gamma_{q}(H_{\R})$ as soon as
$\dim_{\R}(H_{\R})> 1$.
The second chapter is devoted to the construction of an asymptotic
matricial model for $q$-Gaussian variables. Such a model is then
used to prove that all $q$-Gaussian algebras are QWEP.
The $C^*-$algebraic case is also investigated and, the preceding
results are studied and stated for various other generalized
$q$-Gaussian algebras such as type $I\!I\!I$ $q$-Gaussian algebras
and $T-$deformed Gaussian algebras where $T$ is a Yang-Baxter
operator.
non-commutative probability theories. Some properties of
$\Gamma_{q}(H_{\R})$ are investigated, where $\Gamma_{q}(H_{\R})$
stands for the von Neumann algebra generated by non-commutative
$q$-deformed Gaussian variables . These variables are given as
operators acting on a $q-$deformed Fock space where the
$q$-canonical commutation relations are realized by non-commutative
shift operators.
Some $L^{\infty}$-Khintchin type inequalities with operator
coefficients, concerning Wick products of a given length, are
discussed and established in the first chapter. These inequalities
extend, on the one hand Haagerup's scalar inequalities in the free
case and, on the other hand Bo\.zejko and Speicher's operator
coefficients inequalities for $q$-Gaussians. From those inequalities
follows the non-injectivity of $\Gamma_{q}(H_{\R})$ as soon as
$\dim_{\R}(H_{\R})> 1$.
The second chapter is devoted to the construction of an asymptotic
matricial model for $q$-Gaussian variables. Such a model is then
used to prove that all $q$-Gaussian algebras are QWEP.
The $C^*-$algebraic case is also investigated and, the preceding
results are studied and stated for various other generalized
$q$-Gaussian algebras such as type $I\!I\!I$ $q$-Gaussian algebras
and $T-$deformed Gaussian algebras where $T$ is a Yang-Baxter
operator.
Ce travail est au confluent de la théorie des algèbres d'opérateurs
et des probabilités non-commutatives. Nous étudions les propriétés
des algèbres de von Neumann, $\Gamma_{q}(H_{\R})$, engendrées par
des variables Gaussiennes non-commutatives et $q$-déformées. Ces
variables $q$-Gaussiennes sont des opérateurs agissant sur l'espace
de Fock $q$-déformé, où sont réalisées les relations de
$q$-commutations canoniques.
Dans la première partie de ce mémoire, nous établissons des
inégalités à coefficients opérateurs de type Khintchine-$L^{\infty}$
pour les produits de Wick des algèbres $q$-Gaussiennes. Ces
inégalités étendent d'un côté les inégalités scalaires dues à
Haagerup dans le cas libre et d'un autre côté les inégalités à
coefficients opérateurs, pour les $q$-Gaussiens, dues à Bo\.zejko et
Speicher. A l'aide de ces inégalités nous en déduisons que les
algèbres $\Gamma_q(H_{\R})$ sont non injectives dès que
$\dim_{\R}(H_{\R})\ge 2$.
La deuxième partie est dédiée à la construction d'un modèle
asymptotique matriciel pour les variables $q$-Gaussiennes.
L'existence d'un tel modèle nous permet de prouver que les algèbres
$\Gamma_{q}(H_{\R})$ sont QWEP.
Chemin faisant, nous traitons également le cas $C^*-$algébrique et
étudions diverses généralisations des résultats précédents pour les
déformations par opérateur de Yang-Baxter et pour les déformations
$q$-Gaussiennes de type $I\!I\!I$.
et des probabilités non-commutatives. Nous étudions les propriétés
des algèbres de von Neumann, $\Gamma_{q}(H_{\R})$, engendrées par
des variables Gaussiennes non-commutatives et $q$-déformées. Ces
variables $q$-Gaussiennes sont des opérateurs agissant sur l'espace
de Fock $q$-déformé, où sont réalisées les relations de
$q$-commutations canoniques.
Dans la première partie de ce mémoire, nous établissons des
inégalités à coefficients opérateurs de type Khintchine-$L^{\infty}$
pour les produits de Wick des algèbres $q$-Gaussiennes. Ces
inégalités étendent d'un côté les inégalités scalaires dues à
Haagerup dans le cas libre et d'un autre côté les inégalités à
coefficients opérateurs, pour les $q$-Gaussiens, dues à Bo\.zejko et
Speicher. A l'aide de ces inégalités nous en déduisons que les
algèbres $\Gamma_q(H_{\R})$ sont non injectives dès que
$\dim_{\R}(H_{\R})\ge 2$.
La deuxième partie est dédiée à la construction d'un modèle
asymptotique matriciel pour les variables $q$-Gaussiennes.
L'existence d'un tel modèle nous permet de prouver que les algèbres
$\Gamma_{q}(H_{\R})$ sont QWEP.
Chemin faisant, nous traitons également le cas $C^*-$algébrique et
étudions diverses généralisations des résultats précédents pour les
déformations par opérateur de Yang-Baxter et pour les déformations
$q$-Gaussiennes de type $I\!I\!I$.