Hopf bifurcation in delay differential equations, Application in population dynamics
Contribution à l'Etude de la Bifurcation de Hopf dans le Cadre des Equations Différentielles à Retard, Application à un Problème en Dynamique de Population.
Résumé
Our first goal in this work is to give a proof of exchange of stability from the trivial
branch to the bifurcated one. This proof is based on the two following steps:
i) reduction of the equation to a two-dimensional system via the variation of constant
formula end the center manifold theorem.
ii) Estimation of the distance between solutions of the original equation and the bifurcated
periodic solutions.
We obtain an estimate of the stability region.
The second goal is to study the dynamics of Haematopoietic Stem Cells (HSC) Model
with one delay.
The model, was initially introduced by Mackey (1978). There are two possible stationary
states. One of them is trivial and unstable, the second is nontrivial, depending on
the delay \tau.
We prove the existence of a critical value ¿0 of the delay \tau in which the exchange of
stability of nontrivial stationary state may occur.
We introduce also an approachable model depending on this critical value of the delay,
such that the nontrivial stationary state do not depend on the delay which is the same
one of Mackey model at \tau =\tau_{0}.
By a similar study of the approachable model as in Mackey model, we obtain the existence
of the bifurcated periodic solution branch around the nontrivial stationary state.
In the end, we give an explicit algorithm for calculating the elements of bifurcation.
branch to the bifurcated one. This proof is based on the two following steps:
i) reduction of the equation to a two-dimensional system via the variation of constant
formula end the center manifold theorem.
ii) Estimation of the distance between solutions of the original equation and the bifurcated
periodic solutions.
We obtain an estimate of the stability region.
The second goal is to study the dynamics of Haematopoietic Stem Cells (HSC) Model
with one delay.
The model, was initially introduced by Mackey (1978). There are two possible stationary
states. One of them is trivial and unstable, the second is nontrivial, depending on
the delay \tau.
We prove the existence of a critical value ¿0 of the delay \tau in which the exchange of
stability of nontrivial stationary state may occur.
We introduce also an approachable model depending on this critical value of the delay,
such that the nontrivial stationary state do not depend on the delay which is the same
one of Mackey model at \tau =\tau_{0}.
By a similar study of the approachable model as in Mackey model, we obtain the existence
of the bifurcated periodic solution branch around the nontrivial stationary state.
In the end, we give an explicit algorithm for calculating the elements of bifurcation.
Notre premier objectif dans ce travail est de donner une démonstration du changement
de la stabilité de la branche supercritique de solutions périodiques bifurquées
dans le cadre des équations diérentielles à retard, en se basant sur les deux étapes
suivantes:
(i) Réduction de l'équation à un système en dimension deux par la formule de variation
de la constante et le théorème de la variété centre.
(ii) Estimation de la distance entre la solution de l'équation initiale et la solution pé-
riodique bifurquée.
Nous obtenons ainsi un domaine de stabilité de la branche supercritique.
Le second objectif est d'étudier une équation différentielle à un seul retard issue
d'un modèle en dynamique de population cellulaire sanguine (Haematopoiese).
Ce modèle, initialement introduit par Mackey (1978) présente une position d'équilibre
triviale qui est instable et une famille de positions d'équilibre non triviales dont la
stabilité dépend du retard.
Nous montrons l'existence d'une valeur critique ¿0 du retard \tau autour de laquelle nous
obtenons un changement de stabilité de cette famille de positions d'équilibre en fonction
du retard.
Nous avons ainsi introduit un modèle approché en fonction de cette valeur critique du
retard qui coincide avec celui de Mackey pour la valeur du retard \tau = \tau_{0}. Le modèle
approché possède un point d'équilibre trivial et un non trivial ne dépendant pas du
retard.
Par une étude du modèle approché analogue à celle du modèle de Mackey, nous obtenons
en particulier l'existence d'une branche de solutions périodiques bifurquées à
partir du point d'équilibre non trivial. Enn nous donnons un algorithme explicite de
calcul des éléments de la bifurcation.
de la stabilité de la branche supercritique de solutions périodiques bifurquées
dans le cadre des équations diérentielles à retard, en se basant sur les deux étapes
suivantes:
(i) Réduction de l'équation à un système en dimension deux par la formule de variation
de la constante et le théorème de la variété centre.
(ii) Estimation de la distance entre la solution de l'équation initiale et la solution pé-
riodique bifurquée.
Nous obtenons ainsi un domaine de stabilité de la branche supercritique.
Le second objectif est d'étudier une équation différentielle à un seul retard issue
d'un modèle en dynamique de population cellulaire sanguine (Haematopoiese).
Ce modèle, initialement introduit par Mackey (1978) présente une position d'équilibre
triviale qui est instable et une famille de positions d'équilibre non triviales dont la
stabilité dépend du retard.
Nous montrons l'existence d'une valeur critique ¿0 du retard \tau autour de laquelle nous
obtenons un changement de stabilité de cette famille de positions d'équilibre en fonction
du retard.
Nous avons ainsi introduit un modèle approché en fonction de cette valeur critique du
retard qui coincide avec celui de Mackey pour la valeur du retard \tau = \tau_{0}. Le modèle
approché possède un point d'équilibre trivial et un non trivial ne dépendant pas du
retard.
Par une étude du modèle approché analogue à celle du modèle de Mackey, nous obtenons
en particulier l'existence d'une branche de solutions périodiques bifurquées à
partir du point d'équilibre non trivial. Enn nous donnons un algorithme explicite de
calcul des éléments de la bifurcation.