Sieve estimator of autoregressive processes in a Banach space

Estimateurs cribles des processus autorégressifs Banachiques

Fatiha Rachedi (1)

1 LSTA - Laboratoire de Statistique Théorique et Appliquée

The autoregressive model in a Banach space (ARB) allows to represent many continuous time processes used in practice. We consider the estimate of the operator of autocorrelation of ARB(1). The traditional estimate methods (maximum likelihood and least square) prove to be inadequate when parametric space is of infinite size. Grenander (1983} proposed to estimate the parameter on under space of size m in general finished, then study the consistency of this estimator when dimension m tends towards the infinite one with the numbers of observations at suitable speed. Let us note that more generally
it would be possible to use the f-divergences method. We define the least squares method like optimization problem in a Banach space when the operator is p-summable, p>1. We show consistency of the sieve estimator and we derive a central limit theorem for a strictly p-integral operator. We use the f-divergence dual representation to define the minimum f-divergences estimator. We limit our study here to the
minimum of KL-divergence estimator (Kullback-Leibler divergence ). This estimator is that of the maximum likelihood. We show that it almost surely converges towards the true value of the parameter. The proof is based on the techniques of Geman and Hwang (1982), used for independent and identically distributed observations,
that we adapt to the autoregression case.

Le modèle autorégressif dans un espace de Banach (ARB) permet
de représenter des processus à temps continu. Nous considérons
l'estimation de l'opérateur d'autocorrelation d'un ARB(1). Les
méthodes classiques d'estimation (maximum de vraisemblance et
moindres carrées) s'avèrent inadéquates quand l'espace
paramétrique est de dimension infinie, Grenander (1983} a proposé
d'estimer le paramètre sur un sous espace de dimension en général
finie m, puis d'étudier la consistance de cet estimateur lorsque
la dimension m tend vers l'infini avec le nombres d'observations
à vitesse convenable. Cette méthode est dite méthode des cribles.
Notons que plus généralement il serait possible d'utiliser la
méthode des f-divergences. Nous définissons la méthode des
moindres carrées comme problème d'optimisation dans un espace de
Banach dans le cas ou l'opérateur est p-sommable,
p>1. Nous montrons la convergence de l'estimateur
crible et sa normalité asymptotique dans le cas d'un opérateur est
strictement -intégral. Nous utilisons la représentation duale
de la f-divergence pour définir l'estimateur du minimum des
f-divergences. Nous nous limitons ici à l'étude de
l'estimateur dit du minimum de KL-divergence (divergence de
Kullback-Leibler). Cet estimateur est celui
du maximum de vraisemblance. Nous montrons par la suite qu'il
converge presque surement vers la vraie valeur du paramètre
pour la norme des opérateurs p-sommables. La démonstration est
basée sur les techniques de Geman et Hwang (1982), utilisées pour
des observations indépendantes et identiquement distribuées, qu'on
a adapté au cas autorégressif.

Mots clés: Autoregressive processes in Banach space; p-summable operator; strictly p-integral operator; sieves; least square method; maximum likelihood method; f-divergence

Mots clés: méthode des f-divergences; Processus autorégressif Banachique; opérateur p-sommable; <br />opérateur strictement p-intégral; crible; méthode des moindres carrées; méthode<br />du maximum de vraisemblance; méthode des f-divergences.

Domaines: Mathématiques [math]

Fatiha Rachedi. Estimateurs cribles des processus autorégressifs Banachiques. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00012194⟩