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Detailed view PhD thesis
Université Paris-Diderot - Paris VII (11/12/2000), Maurice Nivat (Dir.)
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Convexité dans le plan discret. Application à la tomographie
Alain Daurat1, 2

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude des convexes dans le plan discret Z2 ou plus généralement Zn. Il existe en fait plusieurs notions de convexité discrète : la convexité simple selon certaines directions, la convexité totale (la convexité usuelle du continu), etc. La Q-convexité est encore une nouvelle classe qui généralise à la fois les totalement convexes et les polyominos HV-convexes. On étudie les liens entre toutes ces différentes notions, et on donne des propriétés des points particuliers de ces ensembles comme les points médians et les points saillants.

Toute la deuxième partie est dédiée au problème de la tomographie dans le plan discret Z2. Il s'agit simplement de reconstruire un ensemble à partir du nombre de points dans les droites parallèles à des directions données. L'algorithme polynomial, déjà connu pour les polyominos HV-convexes avec les directions horizontales et verticales, se généralise aux Q-convexes pour des directions quelconques. D'autre part, le théorème d'unicité qui montre en particulier que sept directions suffisent pour déterminer un totalement convexe se généralise aussi aux Q-convexes. On en déduit que lorsque l'on a assez de directions pour avoir unicité de la solution, la reconstruction des totalement convexes peut se faire en temps polynomial. On a aussi un algorithme polynomial de reconstruction approchée des Q-convexes.
1:  LLAIC1 - Laboratoire de Logique, Algorithmique et Informatique
2:  LIAFA - Laboratoire d'informatique Algorithmique : Fondements et Applications
convexité discrète – tomographie discrète – reconstruction d'images binaires
http://geodisi.u-strasbg.fr/~daurat/papiers/these/

Convexity in Digital Plane. Application to Discrete Tomography
The first part of the thesis is dedicated to the convexity in the discrete plane Z2 or more generally Zn. In fact there exist many notions of discrete convexity: the simple convexity along some prescribed directions, the total convexity (the usual convexity in the continuous), etc. The Q-convexity is a new class of convexity which generalizes both the totally convex sets and the HV-convex polyominos. We study the links between all these notions, and the properties of special points of these sets such the median points and the salient points.

In all the second part we are interested in the main problem of discrete tomography : reconstructing a subset of Z2 from the number of its points in each line parallel to some prescribed directions. The polynomial algorithm already known for the HV-convex polyominoes and the horizontal and vertical directions can be generalized to work with Q-convex sets and any directions. On another hand the uniqueness result which shows that 7 directions are sufficient to determine completely a totally convex set from its projections can also be generalized to Q-convex sets. We deduce that when there are enough directions to have uniqueness the reconstruction of totally convex sets can be made in polynomial time. We also have a polynomial algorithm to find Q-convex sets from their approximative projections.
Discrete convexity – Discrete Tomography – Binary Image Reconstruction

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