Vortex type equations and canonical metrics
Equations de type Vortex et métriques canoniques
Résumé
Let $M$ be a smooth projective manifold. Let $\mathcal{F}$ be a filtered holomorphic vector bundle over $M$. We introduce a notion of Gieseker stability for such objects and relate it to an analytic condition in terms of hermitian metrics on $\mathcal{F}$, called balanced metrics by S.K Donaldson, that come from the world of Geometric Invariant Theory (G.I.T). If there is a metric $h$ on $\mathcal{F}$ that satisfies the $\boldsymbol{\tau}$-Hermite-Einstein equation studied by \'{A}lvarez-C\'{o}nsul and Garc\'{i}a-Prada:
$$\sqrt{-1}\Lambda F_h = \sum_i \widetilde{\tau}_i\pi^{\mathscr{F}}_{h,i}$$
then we prove that the sequence of balanced metrics exists, converges and its limit, up to a conformal change, is a smooth hermitian metric on $\mathcal{F}$ that satisfies the previous equation. As a corollary, we give by dimensional reduction a theorem of approximation for Vortex equations introduced by Bradlow and their generalizations to coupled Vortex equations.
$$\sqrt{-1}\Lambda F_h = \sum_i \widetilde{\tau}_i\pi^{\mathscr{F}}_{h,i}$$
then we prove that the sequence of balanced metrics exists, converges and its limit, up to a conformal change, is a smooth hermitian metric on $\mathcal{F}$ that satisfies the previous equation. As a corollary, we give by dimensional reduction a theorem of approximation for Vortex equations introduced by Bradlow and their generalizations to coupled Vortex equations.
Soit $M$ une variété projective lisse. Soit $\mathscr{F}$ une filtration holomorphe sur $M$, c'est à dire une filtration d'un fibré vectoriel holomorphe $\mathcal{F}$ induite par des sous-fibrés. Nous introduisons une notion de Gieseker stabilité pour de tels objets puis donnons une condition analytique équivalente en terme de métriques sur $\mathcal{F}$, dites équilibrées au sens de S.K. Donaldson, provenant d'une construction de la Théorie des Invariants Géométriques. Si le fibré $\mathcal{F}$ peut être muni d'une métrique $h$ solution de l'équation $\boldsymbol{\tau}$-Hermite-Einstein étudiée par \'{A}lvarez-C\'{o}nsul et Garc\'{i}a-Prada:
$$\sqrt{-1}\Lambda F_h = \sum_i \widetilde{\tau}_i\pi^{\mathscr{F}}_{h,i}$$
alors nous prouvons que la suite de métriques équilibrées existe, converge et sa limite est, à un changement conforme, solution de l'équation précédente. De ce résultat nous déduisons, par réduction dimensionnelle, un théorème d'approximation dans le cas des équations Vortex de Bradlow ainsi que leurs généralisations aux équations couplées Vortex.
$$\sqrt{-1}\Lambda F_h = \sum_i \widetilde{\tau}_i\pi^{\mathscr{F}}_{h,i}$$
alors nous prouvons que la suite de métriques équilibrées existe, converge et sa limite est, à un changement conforme, solution de l'équation précédente. De ce résultat nous déduisons, par réduction dimensionnelle, un théorème d'approximation dans le cas des équations Vortex de Bradlow ainsi que leurs généralisations aux équations couplées Vortex.
Mots clés
Moment map
canonical metrics
Hermite-Einstein metrics
Hermitian-Einstein metrics
symplectic quotient
GIT stability
Bergman kernel
filtered bundles
balanced
Vafa-Witten monopoles
gauge theory
holomorphic vector bundles
curvature
complex geometry
Hitchin-Kobayashi correspondence
Kobayashi-Hitchin correspondence
application moment
équations Vortex
métriques canoniques
métriques Hermite-Einstein
quotient symplectique
GIT stabilité
Donaldson
Mumford
Gieseker
Bradlow
Higgs
Simpson
noyau de Bergman
filtrations
équilibre
fibrés vectoriels
courbure
géométrie complexe
correspondance
Hitchin-Kobayashi
Kobayashi-Hitchin