Conical resolutions of discriminant complements and applicationt to complex and real algebraic geometry
Résolutions coniques des variétés discriminants e applications à la géométrie algébrique complexe et réelle
Résumé
There exist many situations when geometric or topological objects of some kind (like configurations of points on a plane or smooth mappings between manifolds or complex projective hypersurfaces etc.) are parametrized by the elements of a certain vector space. A (generalized) discriminant is the subset of such a vector space formed by the elements corresponding to the objects that are singular in some given sense. Via the Alexander duality, the cohomology groups of the discriminant complement are isomorphic to the Borel-Moore homology groups of the discriminant itself. The latter groups can often be computed using a certain natural resolution of the constant sheaf on the discriminant; due to their construction, such resolutions are sometimes called conical.
In this thesis we generalise the method of conical resolutions that was proposed by V. A. Vassiliev in order to study the cohomology of spaces of smooth complex projective hypersurfaces. Our construction
is based on inclusion relations between singular loci, rather than between the corresponding linear systems. This enables one to perform some computations that seem to be out of reach of the original approach. To illustrate our method, we compute the rational cohomology of the space of plane smooth complex quintic curves, of the space of smooth bielliptic curves on a nondegenerate quadric in the complex projective 3-space and of the space of smooth cubics in the real projective plane.
The thesis contains an appendix, where the following result is proven. Suppose the circle is equipped with an atlas, where all transition maps are fractional linear; then this circle bounds an orientable surface with an atlas where all transition maps are also fractional linear (only this time with complex coefficients) and are compatible in the obviuous way with the transition maps on the boundary. It is also shown that the classification of projective structures on the circle given long ago by N. Kuiper is not quite correct and a correct one is given.
In this thesis we generalise the method of conical resolutions that was proposed by V. A. Vassiliev in order to study the cohomology of spaces of smooth complex projective hypersurfaces. Our construction
is based on inclusion relations between singular loci, rather than between the corresponding linear systems. This enables one to perform some computations that seem to be out of reach of the original approach. To illustrate our method, we compute the rational cohomology of the space of plane smooth complex quintic curves, of the space of smooth bielliptic curves on a nondegenerate quadric in the complex projective 3-space and of the space of smooth cubics in the real projective plane.
The thesis contains an appendix, where the following result is proven. Suppose the circle is equipped with an atlas, where all transition maps are fractional linear; then this circle bounds an orientable surface with an atlas where all transition maps are also fractional linear (only this time with complex coefficients) and are compatible in the obviuous way with the transition maps on the boundary. It is also shown that the classification of projective structures on the circle given long ago by N. Kuiper is not quite correct and a correct one is given.
Il existe de nombreuses situations où des objets géométriques ou topologiques (comme les configurations de points du plan, les applications lisses entre variétés, les hypersurfaces projectives complexes) sont paramétrés par des éléments d'un espace vectoriel. Un discriminant (généralisé) est un sous-ensemble formé des éléments singuliers (dans un sens à préciser) d'un tel espace vectoriel. Par la dualité d'Alexander, les groupes de cohomologie du complémentaire d'un discriminant sont isomorphes aux groupes d'homologie de Borel-Moore du discriminant même. Souvent, ces derniers groupes peuvent être calculés en utilisant une certaine résolution naturelle du faisceau constant sur le discriminant ; par référence à leur construction, ces
résolutions sont parfois appelées coniques.
Dans cette thèse, nous généralisons la méthode des résolutions coniques qui a été proposée par V. A. Vassiliev afin d'étudier la cohomologie des espaces des hypersurfaces projectives lisses complexes. Notre construction se base sur les relations d'inclusion entre les lieux singuliers plutôt qu'entre les systèmes linéaires correspondants. Cela nous permet d'effectuer certains calculs qui semblent être hors de portée de l'approche originelle. Pour illustrer notre méthode, nous calculons la cohomologie rationnelle de l'espace des courbes lisses complexes planes de degré 5, de l'espace des courbes bielliptiques lisses sur une quadrique non dégénérée dans l'espace projectif complexe de dimension 3, ainsi que de l'espace des courbes cubiques réelles lisses planes.
La thèse contient un appendice où l'on démontre le résultat suivant. Supposons que le cercle est muni d'un atlas où tous les changements de cartes sont des homographies ; alors ce cercle borde une surface orientable munie d'un atlas où tous les changements de cartes sont aussi des homographies (à coefficients
complexes cette fois-ci) et sont compatibles dans le sens évident avec les applications de changement de cartes sur le bord. Dans l'appendice, nous montrons également que la classification des structures projectives sur le cercle donnée il y a longtemps par N. Kuiper n'est pas tout à fait correcte, et nous complétons cette classification.
résolutions sont parfois appelées coniques.
Dans cette thèse, nous généralisons la méthode des résolutions coniques qui a été proposée par V. A. Vassiliev afin d'étudier la cohomologie des espaces des hypersurfaces projectives lisses complexes. Notre construction se base sur les relations d'inclusion entre les lieux singuliers plutôt qu'entre les systèmes linéaires correspondants. Cela nous permet d'effectuer certains calculs qui semblent être hors de portée de l'approche originelle. Pour illustrer notre méthode, nous calculons la cohomologie rationnelle de l'espace des courbes lisses complexes planes de degré 5, de l'espace des courbes bielliptiques lisses sur une quadrique non dégénérée dans l'espace projectif complexe de dimension 3, ainsi que de l'espace des courbes cubiques réelles lisses planes.
La thèse contient un appendice où l'on démontre le résultat suivant. Supposons que le cercle est muni d'un atlas où tous les changements de cartes sont des homographies ; alors ce cercle borde une surface orientable munie d'un atlas où tous les changements de cartes sont aussi des homographies (à coefficients
complexes cette fois-ci) et sont compatibles dans le sens évident avec les applications de changement de cartes sur le bord. Dans l'appendice, nous montrons également que la classification des structures projectives sur le cercle donnée il y a longtemps par N. Kuiper n'est pas tout à fait correcte, et nous complétons cette classification.
Loading...