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PhD thesis

Université Sciences et Technologies - Bordeaux I (17/12/2004), Jean-Philippe Nicolas (Dir.)

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Sur la theorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans divers espaces-temps de la relativite generale

Thierry Daude1

Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude de la théorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans plusieurs espaces-temps de la relativité générale. Les méthodes complètement dépendantes du temps développées par Enss, Sigal, Soffer, Graf, Derezi\'nski et Gérard constituent le fil conducteur de ce travail. Ces méthodes sont basées sur des estimations de propagation comme les estimations de vitesse minimale (obtenues par une théorie de Mourre) qui correspondent à une version faible du principe de Huygens et sur l'étude d'observables asymptotiques naturelles comme les opérateurs de vitesse asymptotiques. Dans un premier temps, on teste ces méthodes en étudiant la propagation de champs de Dirac, massifs ou non, perturbés par des potentiels à longue portée, en espace-temps plat. On montre ainsi l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde modifiés. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à des situations géométriques plus compliquées en étudiant la propagation de ces champs à l'extérieur de trous noirs de Reissner-Nordström (à symétrie sphérique) et de Kerr-Newman (en rotation) du point de vue d'observateurs lointains. L'originalité de ce type d'étude réside dans le fait que les observateurs distinguent deux régions asymptotiques (l'horizon du trou noir et l'infini spatial) aux structures géométriques bien différentes ce qui entraîne l'existence de deux canaux de diffusion. Dans le cas de trous noirs à symétrie sphérique, une décomposition sur une base d'harmoniques sphériques permet de se ramener à un problème à une dimension d'espace, du type espace-temps plat. La difficulté essentielle provient alors de l'absence de symétrie sphérique des trous noirs de Kerr-Newman qui rend impossible une telle simplification. Dans les deux cas, on montre l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde (modifiés à l'infini) à l'aide des méthodes dépendantes du temps.

1:	NWF I Mathematik

keyword(s) : "Equations aux dérivées partielles" – "équation de Dirac" – "théorie de la diffusion" – "théorie de Mourre" – "estimations de propagation" – "relativité générale" – "trous noirs de Reissner-Nordström" – "trous noirs de Kerr-Newman".

Scattering theory for Dirac fields in various spacetimes of the General Relativity

This thesis is devoted to the study of scattering theory for Dirac fields in various spacetimes of General Relativity. The time-dependent methods developed by Enss, Sigal, Soffer, Graf, Derezi\'nski and Gérard are the backbone of this work. These methods are based on propagation estimates, such as minimal velocity estimates (obtained using a Mourre theory) that are a weak form of the Huygens principle, and on the study of natural and intuitive asymptotic observables such as the asymptotic velocity operators. They turn out to be extremely convenient when studying relativistic equations since they are intimately related to the fundamental structure of General Relativity: the light cone. We first test these methods studying the asymptotic behaviour of Dirac fields perturbed by long-range potentials in flat spacetime and we prove the existence and asymptotic completeness of modified wave operators. We then consider more complicated geometrical situations: the propagation of Dirac fields in the exterior region of a Reissner-Nordström black hole (spherically symmetric) and a Kerr-Newman black hole (in rotation) from the point of view of observers static at infinity. The peculiarity of such situations is that the observer perceives two asymptotic regions (the horizon of the black hole and spacelike infinity) having very different geometrical structures; this leads to the existence of two distinct scattering channels. In the case of spherically symmetric black holes, we can use a decomposition into spherical harmonics in order to obtain a Dirac equation with potentials on one dimensional flat spacetime. The main difficulty in the Kerr-Newman case comes from the absence of spherical symmetry. In both cases, we prove the existence and asymptotic completeness of (modified at infinity) wave operators by means of the previous time-dependent methods.

english keyword(s) : "Partial differential equations" – "Dirac's equation" – "scattering theory" – "Mourre theory" – "propagation estimates" – "General Relativity" – "Reissner-Nordström black holes" – "Kerr-Newman black holes".

tel-00011974, version 1

http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011974

oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00011974

From: Thierry Daude <>

Submitted on: Friday, 17 March 2006 17:46:50

Updated on: Friday, 17 March 2006 18:36:32