Scattering theory for Dirac fields in various spacetimes of the General Relativity
Sur la theorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans divers espaces-temps de la relativite generale
Résumé
This thesis is devoted to the study of scattering theory for Dirac
fields in various spacetimes of General Relativity. The
time-dependent methods developed by Enss, Sigal, Soffer, Graf,
Derezi\'nski and Gérard are the backbone of this
work. These methods are based on propagation estimates, such as minimal
velocity estimates (obtained using a Mourre theory) that are a weak
form of the Huygens principle, and on the
study of natural and intuitive asymptotic observables such as the
asymptotic velocity operators. They turn out to be extremely
convenient when studying relativistic equations since they are
intimately related to the fundamental structure of General
Relativity: the light cone. We first test these methods studying the
asymptotic behaviour of Dirac fields perturbed by long-range potentials
in flat spacetime and we prove the existence and asymptotic
completeness of modified wave operators. We then consider more
complicated geometrical situations: the propagation of Dirac
fields in the exterior region of a Reissner-Nordström black hole
(spherically symmetric) and a Kerr-Newman black hole (in rotation) from
the point of view of observers static at infinity. The peculiarity of
such situations is that the observer perceives two asymptotic regions
(the horizon of the black hole and spacelike infinity) having very
different geometrical structures; this leads to the existence of two
distinct scattering channels. In the case of spherically symmetric
black holes, we can use a decomposition into spherical harmonics in
order to obtain a Dirac equation with potentials on one dimensional
flat spacetime. The main difficulty in the Kerr-Newman case comes from
the absence of spherical symmetry. In both cases, we prove the
existence and asymptotic completeness of (modified at infinity) wave operators by means of the
previous time-dependent methods.
fields in various spacetimes of General Relativity. The
time-dependent methods developed by Enss, Sigal, Soffer, Graf,
Derezi\'nski and Gérard are the backbone of this
work. These methods are based on propagation estimates, such as minimal
velocity estimates (obtained using a Mourre theory) that are a weak
form of the Huygens principle, and on the
study of natural and intuitive asymptotic observables such as the
asymptotic velocity operators. They turn out to be extremely
convenient when studying relativistic equations since they are
intimately related to the fundamental structure of General
Relativity: the light cone. We first test these methods studying the
asymptotic behaviour of Dirac fields perturbed by long-range potentials
in flat spacetime and we prove the existence and asymptotic
completeness of modified wave operators. We then consider more
complicated geometrical situations: the propagation of Dirac
fields in the exterior region of a Reissner-Nordström black hole
(spherically symmetric) and a Kerr-Newman black hole (in rotation) from
the point of view of observers static at infinity. The peculiarity of
such situations is that the observer perceives two asymptotic regions
(the horizon of the black hole and spacelike infinity) having very
different geometrical structures; this leads to the existence of two
distinct scattering channels. In the case of spherically symmetric
black holes, we can use a decomposition into spherical harmonics in
order to obtain a Dirac equation with potentials on one dimensional
flat spacetime. The main difficulty in the Kerr-Newman case comes from
the absence of spherical symmetry. In both cases, we prove the
existence and asymptotic completeness of (modified at infinity) wave operators by means of the
previous time-dependent methods.
Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude de la
théorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans plusieurs
espaces-temps de la relativité générale. Les méthodes complètement
dépendantes du temps développées par Enss, Sigal, Soffer, Graf,
Derezi\'nski et Gérard constituent le fil conducteur de ce
travail. Ces méthodes sont basées sur des estimations de propagation
comme les estimations de vitesse minimale (obtenues par une théorie de
Mourre) qui correspondent à une version faible du principe de Huygens
et sur l'étude d'observables asymptotiques naturelles comme les
opérateurs de vitesse asymptotiques. Dans un premier temps, on teste
ces méthodes en étudiant la propagation de champs de Dirac, massifs ou
non, perturbés par des potentiels à longue portée, en espace-temps
plat. On montre ainsi
l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde
modifiés. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à des situations
géométriques plus compliquées en étudiant la propagation de ces champs
à l'extérieur de trous noirs de Reissner-Nordström (à symétrie
sphérique) et de Kerr-Newman (en rotation) du point de vue
d'observateurs lointains. L'originalité de ce type d'étude réside dans
le fait que les observateurs distinguent deux régions asymptotiques
(l'horizon du trou noir et l'infini spatial) aux structures
géométriques bien différentes ce qui entraîne l'existence de deux
canaux de diffusion. Dans le cas de trous noirs à symétrie
sphérique, une décomposition sur une base d'harmoniques sphériques
permet de se ramener à un problème à une dimension d'espace, du type
espace-temps plat. La difficulté essentielle provient alors de
l'absence de symétrie sphérique des trous noirs de Kerr-Newman qui
rend impossible une telle simplification. Dans les deux cas, on montre
l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde
(modifiés à l'infini) à l'aide des méthodes dépendantes du temps.
théorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans plusieurs
espaces-temps de la relativité générale. Les méthodes complètement
dépendantes du temps développées par Enss, Sigal, Soffer, Graf,
Derezi\'nski et Gérard constituent le fil conducteur de ce
travail. Ces méthodes sont basées sur des estimations de propagation
comme les estimations de vitesse minimale (obtenues par une théorie de
Mourre) qui correspondent à une version faible du principe de Huygens
et sur l'étude d'observables asymptotiques naturelles comme les
opérateurs de vitesse asymptotiques. Dans un premier temps, on teste
ces méthodes en étudiant la propagation de champs de Dirac, massifs ou
non, perturbés par des potentiels à longue portée, en espace-temps
plat. On montre ainsi
l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde
modifiés. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à des situations
géométriques plus compliquées en étudiant la propagation de ces champs
à l'extérieur de trous noirs de Reissner-Nordström (à symétrie
sphérique) et de Kerr-Newman (en rotation) du point de vue
d'observateurs lointains. L'originalité de ce type d'étude réside dans
le fait que les observateurs distinguent deux régions asymptotiques
(l'horizon du trou noir et l'infini spatial) aux structures
géométriques bien différentes ce qui entraîne l'existence de deux
canaux de diffusion. Dans le cas de trous noirs à symétrie
sphérique, une décomposition sur une base d'harmoniques sphériques
permet de se ramener à un problème à une dimension d'espace, du type
espace-temps plat. La difficulté essentielle provient alors de
l'absence de symétrie sphérique des trous noirs de Kerr-Newman qui
rend impossible une telle simplification. Dans les deux cas, on montre
l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde
(modifiés à l'infini) à l'aide des méthodes dépendantes du temps.
Mots clés
"Partial differential equations"
"Dirac's equation"
"scattering theory"
"Mourre theory"
"propagation estimates"
"General Relativity"
"Reissner-Nordström black holes"
"Kerr-Newman black holes".
Equations aux dérivées partielles
équation de Dirac
théorie de la diffusion
théorie de Mourre
estimations de propagation
relativité générale
trous noirs de Reissner-Nordström
trous noirs de Kerr-Newman
"Equations aux dérivées partielles"
"équation de Dirac"
"théorie de la diffusion"
"théorie de Mourre"
"estimations de propagation"
"relativité générale"
"trous noirs de Reissner-Nordström"
"trous noirs de Kerr-Newman".
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