Lp-maximal regularity for non-autonomous Cauchy problems and Spectral theory of Schrödinger operators on Riemannian manifolds

Régularité maximale Lp du problème de Cauchy non-autonome et Théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger sur les variétés Riemanniennes

César Poupaud (1)

1 LaBAG - Laboratoire Bordelais d'Analyse et Géométrie

This thesis is divided into two main parts. The first one is devoted to the maximal regularity of evolution equations. More precisely, given a family of operators, we are interested in the existence and the unicity of a solution to the non-autonomous Cauchy problem. Under a relative continuity hypothesis, we show that the maximal regularity of the family is related to the regularity of each operator. Analogous results are obtained for the second order. In the second part, two problems of spectral theory of Schrödinger operators on manifolds are approached. First of all, we obtain a lower bound for the bottom of the essential spectrum by quantities depending on the potential. We deduce from this result some criterions for the compacity of the resolvant. The last chapter deals with Cwikel-Lieb-Rozenblum type estimate of the number of eigenvalues lying under the essential spectrum. The upper bound that we obtain is directly related to the heat kernel of the Laplacian on the manifold.

Cette thèse se compose de deux parties principales. La première a pour objet la régularité maximale des équations d'évolution. Plus précisemment, étant donnée une famille d'opérateurs dépendant du temps, on s'intéresse à l'existence et l'unicité d'une solution au problème de Cauchy non-autonome associé. Sous l'hypothèse de continuité relative, on montre que la régularité maximale de la famille se ramène à la régularité de chaque opérateur. Nous obtenons des résultats de même nature pour le problème du second ordre. Dans la deuxième partie, deux problèmes de théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger sur les variétés sont abordés. Tout d'abord, on obtient une minoration du bas du spectre essentiel au moyen de quantités liées au potentiel. Ce résultat permet notamment d'obtenir des critères de compacité de la résolvante. Le dernier chapitre traîte d'estimation du type Cwikel-Lieb-Rozenblum du nombre de valeurs propres qui apparaissent sous le spectre essentiel. La majoration obtenue fait directement intervenir le noyau de la chaleur du Laplacien sur la variété.

Mots clés: Maximal regularity; non-autonomous Cauchy problem; Schrödinger operators; essential spectrum; Cwikel-Lieb-Rozenblum estimate

Mots clés: Régularité maximale; problème de Cauchy non-autonome; opérateurs de Schrödinger; spectre essentiel; estimation Cwikel-Lieb-Rozenblum.; estimation Cwikel-Lieb-Rozenblum

Domaines: Mathématiques [math]

César Poupaud. Régularité maximale Lp du problème de Cauchy non-autonome et Théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger sur les variétés Riemanniennes. Mathématiques [math]. Université Sciences et Technologies - Bordeaux I, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00011972⟩