Poducts of Toeplitz operators on the Bergman space
Produits d'opérateurs de Toeplitz sur l'espace de Bergman
Résumé
The subject of this thesis is the study of the product of two Toeplitz operators those defined on the Hardy space of the unit circle as well as those defined on the Bergman space of the unit disc. The two questions raised in my work are as follows :
1) Under which conditions is the product of two Toeplitz operators a Toeplitz operator?
2) Under which conditions is the product of two Toeplitz operators commutative?
For each of these two questions we start by discussing former work along with sevaral technical tools, then we expalin our contibution to this domain. In particular, we give necessary and sufficient conditions for the product of two quasihomogeneous Toeplitz operators to be a Toeplitz operator. Moreover, we chracterize the bounded Toeplitz operators which commute with a quasihomogeneous Toeplitz operator. To motivate this characterization we introduce a new notion-namely the T-root of a quasihomogeneous Toeplitz operator. This work enables us to give an effective construction of a non trivial Toeplitz operator whose powers are all Toeplitz operators.
1) Under which conditions is the product of two Toeplitz operators a Toeplitz operator?
2) Under which conditions is the product of two Toeplitz operators commutative?
For each of these two questions we start by discussing former work along with sevaral technical tools, then we expalin our contibution to this domain. In particular, we give necessary and sufficient conditions for the product of two quasihomogeneous Toeplitz operators to be a Toeplitz operator. Moreover, we chracterize the bounded Toeplitz operators which commute with a quasihomogeneous Toeplitz operator. To motivate this characterization we introduce a new notion-namely the T-root of a quasihomogeneous Toeplitz operator. This work enables us to give an effective construction of a non trivial Toeplitz operator whose powers are all Toeplitz operators.
Le sujet de cette thèse est l'étude des produits d'opérateurs de Toeplitz, aussi bien ceux définis sur l'espace de Hardy du cercle unité que ceux définis sur l'espace de Bergman du disque unité. Les deux questions soulevées dans mon travail sont les suivantes :
1) Sous quelles conditions le produit de deux opérateurs de Toeplitz est-il un opérateur de Toeplitz?
2) Sous quelles conditions le produits de deux opérateurs de Toeplitz est-il commutatif?
Pour chacune de ces deux questions, nous commençons par rappeler les travaux antérieurs avec tout ce qu'ils nécessitent comme outils techniques, puis nous exposerons notre contribution dans ce domaine. Notamment, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour que le produit de deux opérateurs de Toeplitz quasihomogènes soit encore un opérateurs de Toeplitz. De plus, nous caractérisons les opérateurs de Toeplitz bornés qui commutent avec un opérateur de Toeplitz quasihomogène. Pour motiver cette caractérisation, nous introduisons une nouvelle notion à savoir la T-racine d'un opérateur de Toeplitz quasihomogène. Cette notion, nous permet de donner une construction effective d'opérateurs de Toeplitz non triviaux dont toutes les puissances sont des opérateurs de Toeplitz.
1) Sous quelles conditions le produit de deux opérateurs de Toeplitz est-il un opérateur de Toeplitz?
2) Sous quelles conditions le produits de deux opérateurs de Toeplitz est-il commutatif?
Pour chacune de ces deux questions, nous commençons par rappeler les travaux antérieurs avec tout ce qu'ils nécessitent comme outils techniques, puis nous exposerons notre contribution dans ce domaine. Notamment, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour que le produit de deux opérateurs de Toeplitz quasihomogènes soit encore un opérateurs de Toeplitz. De plus, nous caractérisons les opérateurs de Toeplitz bornés qui commutent avec un opérateur de Toeplitz quasihomogène. Pour motiver cette caractérisation, nous introduisons une nouvelle notion à savoir la T-racine d'un opérateur de Toeplitz quasihomogène. Cette notion, nous permet de donner une construction effective d'opérateurs de Toeplitz non triviaux dont toutes les puissances sont des opérateurs de Toeplitz.