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Detailed view Habilitation à diriger des recherches
Université Henri Poincaré - Nancy I (2005-12-07), Marc Yor (Pr.)
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Applications du calcul stochastique à l'étude de certains processus
Mihai Gradinaru1

Ce document contient la synthèse des travaux de recherche effectués
entre 1996 et 2005, après la thèse de doctorat de l'auteur, et concerne l'étude fine de
certains processus stochastiques : mouvement brownien linéaire ou plan, processus de diffusion,
mouvement brownien fractionnaire, solutions d'équations différentielles stochastiques ou
d'équations aux dérivées partielles stochastiques.
La thèse d'habilitation s'articule en six chapitres correspondant aux thèmes
suivants : étude des intégrales par rapport aux temps locaux de certaines diffusions,
grandes déviations pour un processus obtenu par perturbation brownienne d'un système
dynamique dépourvu de la propriété d'unicité des solutions, calcul stochastique
pour le processus gaussien non-markovien non-semimartingale mouvement brownien fractionnaire,
étude des formules de type Itô et Tanaka pour l'équation de la chaleur stochastique,
étude de la durée de vie du mouvement brownien plan réfléchi dans un domaine à
frontière absorbante et enfin, estimation non-paramétrique et construction d'un
test d'adéquation à partir d'observations discrètes pour le coefficient de diffusion d'une
équation différentielle stochastique.
Les approches de tous ces thèmes sont probabilistes et basées sur l'analyse stochastique.
On utilise aussi des outils d'équations différentielles, d'équations aux dérivées partielles
et de l'analyse.
1:  IECN - Institut Elie Cartan Nancy
mouvement brownien – processus de Bessel et leurs temps locaux – transformée de Laplace – opérateur d'intégration fractionnaire d'Abel – théorèmes limites – perturbations aléatoires des systèmes dynamiques – pont brownien – grandes déviations – solutions de viscosité pour des équations de Hamilton-Jacobi – mouvement brownien fractionnaire et son temps local – m-variations et m-intégrales – formules d'Itô et de Tanaka – équation de la chaleur stochastique – calcul de Malliavin – mouvement brownien plan réfléchi – problèmes aux limites mixtes – transformations fractionnaires linéaires complexes – simulations numériques – volatilité stochastique – estimation non-paramétrique – test d'adéquation

Applications of the stochastic calculus to the study of certain processes
This document contains an overview about the research performed between
1996 and 2005, after the Ph. D. Thesis of the author, and concerns the sharp study of some
stochastic processes : linear or planar Brownian motion, diffusion processes, fractional Brownian
motion, solutions of stochastic differential equations or stochastic partial differential equations.
The thesis contains six chapters each corresponding to one of the following subjects :
study of integrals with respect to local time of some diffusions, large deviations for
a process obtained as a Brownian perturbation of a dynamical system without uniqueness
of solutions, stochastic calculus for the Gaussian non-Markov non-semimartingale
fractional Brownian motion process, study of Itô's and Tanaka's type formulae for the stochastic
heat equation, study of the lifetime of the planar Brownian motion reflected inside of
a domain having an absorbing boundary and finally, non-parametric estimation and
construction of a goodness-of-fit test based on discrete time observations for the diffusion
coefficient of a stochastic differential equation.
The approaches of all these subjects are probabilistic and they are based upon the
stochastic analysis. Some tools of differential equations, partial differential equations
and analysis are also employed.
Brownian motion – Bessel process and their local times – Laplace transform – Abel fractional integral operator – limit theorems – random perturbation of dynamical systems – Brownian bridge – large deviations – viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations – fractional Brownian motion and its local time – m-variations and m-integrals – Itô's and Tanaka's formulae – stochastic heat equation – Malliavin calculus – reflected planar Brownian motion – mixed limit problems – complex linear fractional transformations – numerical computations – stochastic volatility – non-parametric estimation – goodness-of-fit test

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