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Université du Sud Toulon Var (28/11/2005), Bruno Rossetto, Jean-Louis Jamet (Dir.)
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Stabilité de Systèmes Dynamiques Chaotiques et Variétés Singulières
Jean-Marc Ginoux1

Ce mémoire a pour objectif d'étudier la stabilité de systèmes dynamiques chaotiques à partir de la structure géométrique de leurs attracteurs dont une partie s'appuie sur une variété appelée variété lente. Dans ce but, une nouvelle approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle a été développée et a conduit à une interprétation géométrique et cinématique de l'évolution des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques au voisinage de la variété lente.

L'utilisation du formalisme de la Mécanique du Point a permis, grâce à l'emploi des vecteurs, vitesse et accélération instantanées attachées à un point courant de la courbe trajectoire, de discriminer le domaine lent du domaine rapide et de situer la position de la variété lente à l'intérieur de l'espace des phases.

Certaines notions de Géométrie Différentielle, comme la courbure, la torsion et le plan osculateur, ont fourni une équation analytique de la variété lente indépendante des vecteurs propres lents du système linéaire tangent, donc définie sur un plus grand domaine de l'espace des phases.

La variété lente a alors été envisagée comme le lieu des points où la courbure des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques, est minimum (en dimension deux ce minimum devient égal à zéro). Le signe de la torsion a permis, de caractériser son attractivité et, de discriminer la partie attractive de la partie répulsive de la variété lente et de statuer sur la stabilité de ces courbes trajectoires.

Ainsi, la présence dans l'espace des phases d'une variété lente attractive qui contraint les courbes trajectoires, intégrales du système dynamique à visiter son voisinage permet d'étudier la structure de l'attracteur.

Cette approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle et qui s'est accompagnée de l'élaboration de programmes numériques a permis de constituer un nouvel outil d'investigation des systèmes dynamiques chaotiques.

Son application à des modèles de référence comme celui de B. Van der Pol, de L.O. Chua ou d'E.N. Lorenz a permis d'obtenir plus directement et avec précision l'équation analytique de leur variété lente. De plus, une étude détaillée des modèles de type prédateur-proie comme celui de Rosenzweig-MacArthur ou d'Hastings-Powell, a conduit d'une part à la détermination de leur variété lente et d'autre part à la conception d'un nouveau modèle de type prédateur-proie à trois espèces appelé Volterra-Gause dont l'attracteur chaotique a la forme d'un escargot (chaotic snail shell).
1:  PROTEE - PROcessus de Transfert et d'Echanges dans l'Environnement
systèmes dynamiques autonomes lents-rapides – stabilité – chaos – attracteurs étranges – repère de Frénet – courbure – torsion
http://ginoux.univ-tln.fr

Chaotic Dynamical Systems Stability and Singular Manifolds
This work aims to study the stability of chaotic dynamical systems starting from the geometrical structure of their attractors of which a part is based on a manifold called slow manifold. To this end, a new approach based on certain aspects of the formalism of Mechanics and Differential Geometry was developed and led to a geometrical and kinematics interpretation of the evolution of the trajectory curves, integrals of these dynamical systems in the vicinity of the slow manifold, and allowed to study their stability.
Mechanics allowed, with the use of the velocity and instantaneous acceleration vectors, located on a point of the trajectory curve, to discriminate the slow domain from the fast domain and to locate the position of the slow manifold inside the phase space.
Certain notions of Differential Geometry like the expressions of curvature, torsion and that of the osculating plane provided an analytical equation of the slow manifold independent of the slow eigenvectors of the tangent linear system, therefore defined on a greater domain of the phase space.
The slow manifold was then considered as the location of the points where the curvature of the trajectory curves, integrals of these dynamical systems, is minimal (in dimension two this minimum becomes equal to zero). The sign of torsion allowed: to characterize its attractivity, to discriminate the attractive part from the repulsive part of the slow manifold and, to rule on the stability of these trajectory curves.
Thus, the presence in the phase space of an attractive slow manifold compelling the trajectory curve, integrals of the dynamic system to visit its vicinity allowed analyzing the attractor structure.
This approach based on certain aspects of the formalism of Mechanics and
Differential Geometry and which was accompanied by the development of numerical programs made it possible to constitute a new tool for investigation of chaotic dynamical systems.
Its application to models of reference like that of B. Van der Pol., L.O. Chua or of E.N. Lorenz allowed obtaining more directly and with precision the analytical equation of their slow manifold. Moreover, a detailed study of the predator-prey models like that of Rosenzweig-MacArthur or Hastings-Powell, led on the one hand to the determination of their slow manifold and on the other hand to the design of a new three-dimensional model of predator-prey type: the
Volterra-Gause model of which chaotic attractor has the shape of a snail
shell (chaotic snail shell).
systèmes dynamiques autonomes lents-rapides – stability – chaos – strange attractors – Frénet frame – curvature – torsion

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