Proprietes combinatoires de certaines familles d'automates cellulaires
Combinatorial properties of some cellular atomata
Résumé
The study and the understanding of natural phenomena such as earthquakes, and tidal waves have puzzled physicists for a long time. Indeed, it seems that classical models based on continous functions can hardly explain the physical observations. In 1987, Bak, Tang and Wiesenfeld introduce a new model based on a cellular automaton whose experimental study shows behaviours similar to earthquakes'. This automaton is called the Sandpile Automaton. In 1990, Dhar, Ruelle Sen and Verma study the mathematical properties of this automaton. This article gives the basis of an algebraic theory of the critical states of the system, showing that they form a finite abelian group. This thesis focuses on the study of the Sandpile group from an algorithmical, combinatorial and algebraic point of view. At first, we study the complexity of the group operator~; then, we give the structure of the group on several usual families of graphs such as wheels and complete graphs to finally show that the group of a planar graph is isomorph to the group of each of its geometric duals. We also show how to associate a polynomial ideal to an abelian group, and for the sandpile group we give a characterization of the group operator and of the identity in terms of polynomial reductions.
L'etude et la comprehension de phenomenes naturels qu'il
semble difficile de predire, tels les
tremblements de terre et les raz de maree intriguent depuis quelques
temps un certain nombre de physiciens. En effet, il semble que les
modeles classiques bases sur des fonctions d'etat continues
peuvent difficilement expliquer les phenomenes observes.
En 1987, Bak, Tang et Wiesenfeld introduisent un modele base
sur un automate particulier dont l'etude experimentale montre
des caracteristiques proches de celles observees pour des
tremblements de terre. Cet automate est appele automate du tas de sable.
En 1990, Dhar, Ruelle, Sen et
Verma etudient les proprietes mathematiques
de l'automate du tas de sable. Cet article jette les bases d'une théorie algebrique et combinatoire des
etats critiques du systeme en montrant que ceux-ci forment un
groupe abelien fini.
Cette these porte essentiellement sur l'etude de ce groupe d'un
point de vue algorithmique, combinatoire et algebrique. Nous
etudions dans un premier temps la complexite de l'operateur de
groupe. Puis nous etudions le groupe sur quelques familles de
graphes connues avant de montrer que le groupe d'un graphe planaire
est isomorphe au groupe de chacun de ses duaux geometriques.
Nous montrons comment associer à un groupe abelien fini un
idéal de polynomes et dans le cas du groupe du Tas de Sable, nous
donnerons une caracterisation de l'operateur de groupe en terme de
reduction de polynome.
semble difficile de predire, tels les
tremblements de terre et les raz de maree intriguent depuis quelques
temps un certain nombre de physiciens. En effet, il semble que les
modeles classiques bases sur des fonctions d'etat continues
peuvent difficilement expliquer les phenomenes observes.
En 1987, Bak, Tang et Wiesenfeld introduisent un modele base
sur un automate particulier dont l'etude experimentale montre
des caracteristiques proches de celles observees pour des
tremblements de terre. Cet automate est appele automate du tas de sable.
En 1990, Dhar, Ruelle, Sen et
Verma etudient les proprietes mathematiques
de l'automate du tas de sable. Cet article jette les bases d'une théorie algebrique et combinatoire des
etats critiques du systeme en montrant que ceux-ci forment un
groupe abelien fini.
Cette these porte essentiellement sur l'etude de ce groupe d'un
point de vue algorithmique, combinatoire et algebrique. Nous
etudions dans un premier temps la complexite de l'operateur de
groupe. Puis nous etudions le groupe sur quelques familles de
graphes connues avant de montrer que le groupe d'un graphe planaire
est isomorphe au groupe de chacun de ses duaux geometriques.
Nous montrons comment associer à un groupe abelien fini un
idéal de polynomes et dans le cas du groupe du Tas de Sable, nous
donnerons une caracterisation de l'operateur de groupe en terme de
reduction de polynome.
Domaines
Combinatoire [math.CO]
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