Finite Volume Methods and Singularities
Méthodes de Volumes Finis et Singularités
Résumé
In this work, we suggest different Finite Volume methods (namely cell-center, conforming Finite Volume-Element non-conforming Finite Volume-Element methods) for problems where singularities arise. First of all, we are interested in two dimensional corner singularities that occur for some elliptic problems (Laplace problem, Stokes and Navier-Stokes systems). In fact, when we consider an elliptic problem on a non-convex domain of R², singularities can corrupt initial order of convergence of numerical methods (like Finite Difference, Finite Element or Finite Volume methods). So we show for the different methods studied therein how a scattered mesh refinement can restore optimal order of convergence. Then we deal with boundary layers that come about two dimensional singularly perturbed problems. Solution of such problems have a strong scattered gradient that cannot capture Finite Volume methods on standard grids. So we study, for a model reaction-diffusion problem, the convergence of Cell-Center, conforming Finite Volume-Element and non-conforming Finite Volume-Element methods on anisotropic meshes. Finally, we talk about singularities that occur in three dimensional elliptic problems. For the Laplace model problem, we describe these singularities. Then, we illustrate by further numerical tests how, for Cell-Center, conforming Finite Volume-Element and non-conforming Finite Volume-Element methods, a suitable refined meshes can bring about better order of convergence than uniform ones.
Dans ce travail, nous proposons différentes méthodes de Volumes Finis (centrée cellule, Éléments-Volumes Finis conforme et Éléments-Volumes Finis non conforme) pour des problèmes où surviennent des singularités. Nous nous intéressons tout d'abord au cas des singularités de coin intervenant en dimension deux pour diverses problèmes elliptiques (problème de Laplace, systèmes de Stokes et de Navier-Stokes). En effet, lorsque nous considérons un problème elliptique sur un domaine non convexe de R², la présence de singularités de coin détériore l'ordre de convergence des méthodes numériques (Différences Finies, Éléments Finis ou Volumes Finis). Nous montrons alors comment, pour les diverses méthodes de Volumes Finis étudiées, un raffinement de maillage local permet de restaurer un ordre de convergence optimal. Nous abordons ensuite les problèmes de couche limite en dimension deux intervenant dans les problèmes singulièrement perturbés. La solution de tels problèmes est caractérisée par un fort gradient local que n'arrive pas à capturer les méthodes de Volumes Finis sur des maillages standards. Nous étudions donc, pour un problème modèle de réaction-diffusion perturbé, la convergence des méthodes de Volumes Finis centrée cellule, d'Éléments- volumes Finis conforme et d'Éléments- volumes Finis non conformes sur des maillages anisotropes. Nous évoquons en dernier lieu le cas des singularités intervenant en dimension trois. Pour le cas du problème de Laplace considéré sur un domaine non convexe tridimensionnel et discrétisé par les méthodes de Volumes précédemment vues, nous illustrons numériquement, d'une part, le fait que les maillages uniformes apportent un ordre de convergence non optimal, et d'autre part, comment un raffinement de maillage local permet d'améliorer la situation.