Convergence acceleration procedures in numerical analysis and statistics.
Méthodes d'Accélération de Convergence en Analyse Numérique et en Statistique
Résumé
The first part is devoted to the resolution of linear systems. Chapter 1 exposes theoretical and numerical results on the methods suggested by Altman and specifies the link with the Krylov methods. Chapter 2 uses extrapolation techniques introduced by Brezinski in order to obtain an estimate of the vector error. Several projection methods are found and new acceleration procedures are given. In the second part, a new strategy inspired of the Cauchy-Barzilai-Borwein method makes it possible to define new schemes solving of the fixed point problems. Numerical results on a problem with bifurcations and a theorem of convergence are given. Chapters 4, 5 and 6 are devoted to the acceleration of the EM algorithm used to calculate maximum likelihood estimators. A class of iterative schemes based on the preceding strategy is presented, a theorem of convergence and an application to a tomography problem are given. The last part, fruit of a project of the cemracs 2003, relates to a problem resulting from the plasma physics: improvement of the Particles Codes in Cell using a reconstruction of the density based on a wavelet technique and its numerical validation.
La première partie est consacrée à la résolution de systèmes linéaires. Le chapitre 1 expose des résultats théoriques et numériques sur les méthodes proposées par Altman et précise le lien avec les méthodes de Krylov. Le chapitre 2 utilise des techniques d'extrapolation introduites par Brezinski pour obtenir une estimation du vecteur erreur. Plusieurs méthodes de projection sont retrouvées et de nouvelles procédures d'accélération données. Dans la deuxième partie, une nouvelle stratégie inspirée de la méthode de Cauchy-Barzilai-Borwein permet de définir de nouveaux schémas résolvant des problèmes de point fixe. Des résultats numériques sur un problème de bifurcation et un théorème de convergence sont donnés. Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l'accélération de l'algorithme EM utilisé pour calculer des estimateurs du maximum de vraisemblance. Une classe de schémas itératifs basés sur la stratégie précédente est présentée, un théorème de convergence et une application à un problème de tomographie sont donnés. La dernière partie, fruit d'un projet du cemracs 2003, traite d'un problème issu de la physique des plasmas : l'amélioration des Codes Particles in Cell à l'aide d'une reconstruction de la densité basée sur une méthode d'ondelettes et sa validation numérique.