Group Action-based generalized perfect nonlinearity, contribution to the foundations of cryptographic solidity
Non linéarité parfaite généralisée au sens des actions de groupe, contribution aux fondements de la solidité cryptographique
Résumé
Notions of perfect nonlinearity and bent functions are particularly relevant in cryptography because they formalize maximal resistances against the very efficient differential and linear attacks. This thesis is then dedicated to the study of these cryptographic objects. We naturally interpret these notions in a more abstract and theoretical framework essentially by the substitution of the translations which occur in the definition of perfect nonlinearity by any group action. The properties of these actions as fidelity and regularity allow to decline this new concept into several alternatives. We develop as well its dual characterization using the Fourier transform that leads to an adapted notion of bentness. In particular in the case of a non Abelian group action, we use the linear representations theory to establish a dual matrix version. Furthermore, following the same principle, we generalize those combinatorics objects called difference sets which characterize perfect nonlinearity of functions with values in the finite field with two elements. This allows us to exhibit some constructions of functions which satisfy our generalized criteria, in particular in those cases where bent functions in the usual sense do not exist.
Les notions de fonctions parfaitement non linéaires et courbes sont particulièrement pertinentes en cryptographie puisqu'elles formalisent les résistances maximales face aux très efficaces attaques différentielle et linéaire. Cette thèse est ainsi consacrée à l'étude de ces objets cryptographiques. Nous interprétons ces notions de manière très naturelle essentiellement en substituant les translations figurant dans la définition de la non linéarité parfaite par une action de groupe quelconque. Les propriétés de ces actions telle que la fidélité ou la régularité permettent de décliner en plusieurs variantes ce nouveau concept. Nous développons de surcroît sa caractérisation duale à l'aide de la transformée de Fourier ce qui aboutit à la notion appropriée de fonction courbe. En particulier dans le cas d'une action de groupe non abélien, nous faisons usage de la théorie des représentations linéaires afin d'établir une version duale matricielle. Nous généralisons par ailleurs selon le même principe ces objets combinatoires appelés ensembles à différences qui caractérisent la non linéarité parfaite des fonctions à valeurs dans le corps fini à deux éléments. Cela nous permet d'exhiber des constructions de fonctions satisfaisant nos critères généralisés, en particulier dans ces cas où les fonctions courbes au sens classique n'existent pas.