A finite Volume scheme based on matrix sign and devoted to non homogeneous systems
Un schéma aux volumes finis avec matrice signe pour les systèmes non homogènes
Résumé
This thesis is devoted to the analysis, the application and the two-dimensional extension, of a new finite volumes scheme (SRNH) proposed recently for a class of nonhomogeneous systems. The stability analysis of the scheme, first in the scalar case then in the case of systems of conservation laws, leads to a new formulation of the scheme which is based on the sign of the Jacobian matrix of the system under study. For Shallow Water equation with slope source term, one shows formally that the scheme SRNHS preserves the exact C-property introduced in the context of equilibrium schemes, by Bermùdez and Vázquez. The 1D and 2D numerical results, in particular in the case of a dam break over a step, show how much the scheme is really efficient. For two phase flows, nonhyperbolicity regions could appear, and the eigenvalues of the Jacobian matrix could become complex. It is shown that for weak nonhyperbolic configurations, one can calculate the sign of the Jacobian matrix using the algorithm of Newton-Schultz. For stiffer configurations, where the preceding method is no more adequate, one can use the method of density perturbation. In both cases, the numerical tests show that one approaches the exact solution of the Ransom problem with a high degree of accuracy, and that one preserves the stability of the calculations even on a grid of a relatively high degree of refinement.
Cette thèse est consacrée à l'analyse, à l'application et à l'extension bidimensionnelle, d'un nouveau schéma aux volumes finis (SRNH) proposé récemment pour une classe de système non homogène. L'analyse de stabilité du schéma, d'abord dans le cas scalaire ensuite dans le cas de systèmes, mène à une nouvelle formulation où intervient le signe de la matrice Jacobienne du système de lois de bilan considéré. Pour le système de Saint Venant avec terme de pente, on montre formellement que le schéma SRNHS vérifie la C-propriété exacte introduite pour les schémas équilibres par Bermùdez et Vázquez. Les résultats numériques 1D et 2D, en particulier du cas de rupture de barage sur un fond en forme de marche, montrent le degrés d'efficacité du schéma. Pour le système diphasiques des zones de non hyperbolicité peuvent exister, avec apparition de valeurs propres complexes dans la Jacobienne du système. On montre que pour les configurations faiblement non hyperboliques, on peut calculer le signe de la Jacobienne par l'algorithme de Newton-Schultz. Pour les configurations plus raides, où la méthode précédente ne fonctionne plus, on a recours à la méthode de perturbation par densité. Dans les deux cas évoqués, les tests numériques montrent que l'on approche la solution exacte du problème de Ransom avec une grande précision, et que l'on conserve la stabilité des calculs même avec un maillage de finesse relativement élevée.