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Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II (04/01/2002), Piraux Joël (Dir.)
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Modélisation numérique de la propagation des ondes acoustiques et élastiques en présence d'interfaces
Bruno Lombard1

Cette thèse concerne le traitement numérique des interfaces pour des probèmes de propagation d'ondes dans des fluides parfaits et des solides élastique isotropes. La présence d'interfaces induit trois types de difficultés. Numériquement, on observe une chute de l'ordre de convergence des schémas, et des problèmes de stabilité. Géométriquement, la représentation en « marches d'escalier » conduit à des diffractions parasites. Physiquement, les schémas ne décrivent pas la nature des contacts. Nous résolvons ces trois problèmes via une méthode d'interface (schéma utilisé aux points de calcul voisins des interfaces, imposant à la solution numérique le respect des différentes conditions vérifiées par la solution exacte). L'étude est divisée en trois parties. La première partie débute par un état de l'art sur les méthodes d'interface classiques, comme l' « Immersed Interface Method » IIM), et sur leurs limitations. Les équations de l'acoustique et de l'élastodynamique sont écrites sous forme de systèmes hyperboliques du premier ordre. Différents schémas numériques, de complexité et qualité croissantes, sont présentés (Lax-Wendroff, volumes finis à limiteur de flux, WENO). La deuxième partie commence par le calcul des conditions de saut vérifiées par la solution exacte et par ses dérivées spatiales successives, pour différentes interfaces : fluide-fluide, fluide-solide et solide-solide, en contact parfait ou imparfait (conditions de masse-ressort). Nous proposons alors une nouvelle méthode d'interface, l' « Explicit Simplified Interface Method ». Cette méthode conserve, en présence d'interfaces, des propriétés des schémas en miieu homogène. L'ESIM est de mise en œuvre aisée, s'adapte aux différents schémas, et conduit à un surcoût informatique négligeable. La troisième partie concerne la validtion numérique de la méthode. Les comparaisons de solutions analytiques et de solutions calculées avec l'ESIM permettent de vérifier les propriétés attendues.
1:  LMA - Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique
Elastodynamique – acoustique – système hyperbolique – interface – conditions de saut – schéma numérique – méthode d'interface – calcul scientifique
http://w3lma.cnrs-mrs.fr/~MI/Articles/These.pdf

Numerical modeling of acoustic and elastic wave propagation with interfaces
This thesis concerns the numerical treatment of interface for wave propagation in fluid and solid heterogeneous media. Interfaces introduce three kinds of problems. Numerically, the rate of convergence falls, and one can observe instabilities. Geometrically, a "stair-step" description of interfaces introduces numerical diffraction. Physically, classical schemes do not describe the nature of contacts. To solve these three drawbacks, we use an interface method (i.e., a scheme used at grid points near interfaces, that enforces the numerical solution to respect the same conditions than the exact solution). The study is divided into three parts. Firstly, we begin with a state-of-art about classical interface methods, such as the "Immersed Interface Method" (IIM) and their drawbacks. The equations of acoustics and elastodynamics are written as a first-order hyperbolic system. Three schemes, of increasing complexity and quality, are proposed (Lax-Wendroff, finite-volume with flux-limiter, WENO 5). Secondly, we calculate jump conditions for the exact solution and its spatial derivatives, for various interfaces : fluid-fluid, fluid-solid, solid-solid in perfect or imperfect contact (spring-mass conditions). Then, we propose a new interface method, the "Explicit Simplified Interface Method" (ESIM). Near interfaces, this easy-to-implement method maintains properties of schemes in homogeneous medium, for a negligible computational cost. Thirdly, we perform numerical experiments. Comparisons between analytical solutions and numerical solutions confirm properties deduced from the numerical analysis.
Elastodynamic – acoustic – hyperbolic system – interface – jump conditions – numerical scheme – interface method – scientific computing

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