Modeling regionally the geomagnetic field
Modelisation regionale du champ magnetique terrestre
Résumé
The geomagnetic field above the Earth's surface in current free region may be expressed as the gradient of a scalar potential solving Laplace equation. For regions with a fairly dense coverage of data at different altitudes, a regional model ought to offer a better spatial resolution of the regional field over the volume under study than a global field expanded in Spherical Harmonics. The Spherical Cap Harmonics Analysis is an attractive regional modelling tool having close relationship with global Spherical Harmonics. With the Spherical Cap Harmonic Analysis (SCHA) adopted so far, difficulties arise in upward continuation of the field. It is also uneasy to establish a relationship between global and local Gauss coefficients. Indeed, such relationship would be useful for introducing prior constraint on inverse problems dealing with the estimation of local Gauss coefficients based upon a local dataset. In the present work, we show that these difficulties are overcome if the SCHA modelling is formulated as a boundary value problem in a cone bounded radially by the Earth's surface and an upper surface suitable for satellite data, and bounded laterally in order to encompass a specific region of study. In particular, this new formalism can be related to Spherical Harmonics and gives sensible relationship among both sets of Gauss coefficients. The reliability of these relations is demonstrated by reconstructing the three components of a global field with a pretty good accuracy. In order to foresee the inverse problem, we also establish useful analytical relationships based on spectrum concept and magnetic energy inside a cone. This provide powerful tools for regularizing inverse problems based on real data sparsely distributed. We finally tackle the inverse problem by examining several synthetic simulations for different data distributions ; from even to sparse distributions. All results suggest that the new proposal for regional modelling is efficient. Synthetic data are well resolved and models obey to basic properties of Newtonian potentials.
Le champ magnétique terrestre, dans des régions libres de sources magnétiques, peut être exprimé comme le gradient d'un potentiel scalaire, solution de l'équation de Laplace. Pour des régions dont la couverture en données est particulièrement dense, la modélisation régionale est susceptible d'offrir une meilleure résolution spatiale du champ magnétique que la modélisation globale par les harmoniques sphériques (SH). Avec la méthode régionale de décomposition en harmoniques sur calottes sphériques (SCHA), les difficultés apparaissent lors du traitement simultané de données enregistrées à des altitudes variées. De plus, ce formalisme ne peut pas être simplement relié au formalisme global SH, nous privant ainsi de précieuses informations a priori sur les coefficients du modèle. Dans le présent travail, nous montrons que ces problèmes sont surmontés si SCHA est formulée comme un problème de conditions aux limites dans un cône ; cône qui circonscrit la région d'étude et dont la hauteur est compatible avec l'altitude maximale contenue dans les données. Ceci nous permet d'obtenir pour la première fois des relations entre les coefficients de Gauss globaux et ceux des harmoniques locales. La reconstruction précise d'un champ globale dans le cône démontre la pertinence de ces relations. De manière à anticiper le problème inverse, nous proposons des relations basées sur le concept de spectre d'énergie, et nous définissons des normes pour le champ magnétique. Ces expressions sont des outils précieux de régularisation pour des problèmes inverses mal conditionnés. Nous traitons finalement le problème inverse. Dans un premier temps, nous considérons des données uniformément distribuées et nous concluons que le modèle obtenu est conforme aux propriétés d'un champ géomagnétique. Dans un second temps, nous simulons une inversion sur un cas réel en considérant les positions des données terrestres et celles du satellite CHAMP. Par une régularisation, nous parvenons à résoudre le problème inverse dans une situation particulièrement défavorable, et nous obtenons un modèle de champ magnétique stable dans tout le volume conique.