A theoritical and algorithmic study of Chebyshev series solutions of holonomic differential equations
Etude théorique et algorithmique des séries de Chebyshev solutions d'équations différentielles holonomes
Résumé
The first part of this thesis deals with the manipulation of orthogonal series with computer algebra. Using the hypergeometrical approach, we obtain in a constructive and synthetic manner difference operators which define elementary operations on orthogonal series such as multiplication by a polynomial, differentiation ou evaluation of truncated series. These elementary operations have been implemented in Maple as primitives on which more complicated operations are built : application of a differential operator, products of series and particularly solution of differential problems by means of tau-methods. In the case of Chebyshev series, the results of the first part permit us to build a difference equation, a so-called Chebyshev recurrence, verified by Chebyshev coefficients of any function which satisfies a given holonomic differential equation. Serveral problems related to the construction and the structure of the Chebyshev recurrence are studied. Concurrently, the solutions of the Chebyshev recurrence lead to the notion of a formal Chebyshev series solution of a differential equation. A theorem describes the asymptotic behavior of coefficients of such a formal series which can be divergent. In some cases, the link between a divergent Chebyshev series and an actual fonction verifying the same differential equation can shown either by resummation methods or by a sequence of integrals in the complex plane.
La première partie de cette thèse traite de la manipulation des séries de polynômes orthogonaux classiques par le calcul formel. Grâce à l'approche hypergéométrique, nous obtenons de manière synthétique et constructive des opérateurs aux différences qui définissent les opérations élémentaires sur les séries de polynômes orthogonaux classiques telles que le produit par un polynôme, la dérivation ou l'évaluation des séries partielles. Ces opérations élémentaires sont implémentées en Maple sous forme de primitives à partir desquelles des opérations plus complexes sont construites : application d'un opérateur différentiel, produits de séries et surtout la résolution de problèmes différentiels au moyen de tau-méthodes. Dans le cas des séries de Chebyshev, les résultats de la premiére partie permettent de construire une équation récurrente, dite récurrence de Chebyshev, vérifiée par les coefficients de Chebyshev de toute fonction solution d'une équation différentielle holonome donnée. Divers problèmes relatifs à la construction et à la structure de la récurrence de Chebyshev sont traités. Parallèlement, les solutions de la récurrence de Chebyshev conduisent à la notion de série de Chebyshev formelle solution d'une équation différentielle. Un théorème décrit le comportement asympotique des coefficients d'une telle série qui peut être divergente. Dans certains cas, le lien entre une série de Chebyshev divergente et une fonction toutes deux solutions de la même equation differentielle peut être établi soit par des méthodes de resommation soit par une suite d'intégrales dans le champ complexe.