Dimensionnal properties of the harmonic measure associated with a random walk on a group
Marche aléatoire sur un groupe : propriétés dimensionnelles de la mesure harmonique
Abstract
This thesis deals with the harmonic measure associated with a random walk on a hyperbolic group or a discrete subgroup of a semisimple group. In both contexts, the groups are equiped with a natural geometric boundary, which carries the harmonic measure. We consider the relations between this measure and the metric structure of the boundary through the study of its dimension. In each context, we establish an upper bound of the dimension of the harmonic measure in term of the asymptotic entropy and of the rate of escape of the random walk. This upper bound allows us to construct harmonic measures with small dimension. One of our main results is a consequence of this construction: the harmonic measure associated with a random walk on a lattice in a semisimple group can be singular with respect to the Haar measure on the space of complete flags.
Cette thèse a pour objet l'étude de la mesure harmonique associée à une marche aléatoire sur un groupe hyperbolique ou sur un sous-groupe discret d'un groupe semi-simple. Dans ces deux cadres, les groupes sont munis d'un bord géométrique naturel, qui porte la mesure harmonique. On s'intéresse aux relations entre celle-ci et la structure métrique du bord, à travers l'étude de sa dimension. Dans chacun des cadres, on majore la dimension de la mesure harmonique par le quotient de l'entropie asymptotique et de la vitesse de fuite de la marche aléatoire. Cette majoration nous permet de construire des mesures harmoniques de petite dimension. Un de nos résultats principaux découle de cette construction : la mesure harmonique associée à une marche aléatoire sur un réseau d'un groupe semi-simple peut être singulière par rapport à la mesure de Haar sur l'espace des drapeaux complets.