On large clusters in percolation
Sur les grands clusters en percolation
Résumé
This thesis is dedicated to the study of large clusters in percolation and is divided into four articles. Models under consideration are Bernoulli percolation, FK percolation and oriented percolation. Key ideas are renormalization, large deviations, FKG and BK inequalities and mixing properties. We prove a large deviation principle for clusters in the subcritical phase of Bernoulli percolation. We use FKG inequality for the lower bound. As for the upper bound, we use BK inequality together with a skeleton coarse graining. We establish large deviations estimates of surface order for the density of the maximal cluster in a box in dimension two for supercritical FK percolation. We use renormalization and we compare a block process with a site-percolation process whose parameter of retention is close to one. We prove that large finite clusters are distributed accordingly to a Poisson process in supercritical FK percolation and in all dimensions. The proof is based on the Chen-Stein method and it makes use of mixing properties such as the ratio weak mixing property. We establish a large deviation principle of surface order for the supercritical oriented percolation. The framework is that of the non-oriented case, but difficulties arise despite of the Markovian nature of the oriented process. We give new block estimates, which describe the behaviour of the oriented process. We also obtain the exponential decay of connectivities outside the cone of percolation, which is the typical shape of an infinite cluster.
Cette thèse est consacrée à l'étude des grands clusters en percolation et se compose de quatre articles distincts. Les différents modèles étudiés sont la percolation Bernoulli, la percolation FK et la percolation orientée. Les idées clés sont la renormalisation, les grandes déviations, les inégalités FKG et BK, les proprietés de mélange. Nous prouvons un principe de grandes déviations pour les clusters en régime sous-critique de la percolation Bernoulli. Nous utilisons l'inégalité FKG pour démontrer la borne inférieure du PGD. La borne supérieure est obtenue à l'aide de l'inégalité BK combinée avec des squelettes, les squelettes étant des sortes de lignes brisées approximant les clusters. Concernant la FK percolation en régime sur-critique, nous établissons des estimés d'ordre surfacique pour la densité du cluster maximal dans une boîte en dimension deux. Nous utilisons la renormalisation et comparons un processus sur des blocs avec un processus de percolation par site dont le paramètre de rétention est proche de un. Pour toutes les dimensions, nous prouvons que les grands clusters finis de la percolation FK sont distribués dans l'espace comme un processus de Poisson. La preuve repose sur la méthode Chen-Stein et fait appel à des propriétés de mélange comme la ratio weak mixing property. Nous établissons un principe de grandes déviations surfaciques dans le régime sur-critique du modèle orienté. Le schéma de la preuve est similaire à celui du cas non-orienté, mais des difficultés surgissent malgré l'aspect Markovien du réseau orienté. De nouveaux estimés blocs sont donnés, qui décrivent le comportement du processus orienté. Nous obtenons également la décroissance exponentielle des connectivités en dehors du cône de percolation, qui représente la forme typique d'un cluster infini.