On A-infinity-categories
Sur les A-infini-catégories
Résumé
We study (not necessarily connected) Z-graded A-infinity-algebras and their A-infinity-modules. Using the cobar and the bar construction and Quillen's homotopical algebra, we describe the localisation of the category of A-infinity-algebras with respect to A-infinity-quasi-isomorphisms. We then adapt these methods to describe the derived category DA of an augmented A-infinity-algebra A. The case where A is not endowed with an augmentation is treated differently. Nevertheless, when A is strictly unital, its derived category can be described in the same way as in the augmented case. Next, we compare two different notions of A-infinity-unitarity : strict unitarity and homological unitarity. We show that, up to homotopy, there is no difference between these two notions. We then establish a formalism which allows us to view A-infinity-categories as A-infinity-algebras in suitable monoidal categories. We generalize the fundamental constructions of category theory to this setting : Yoneda embeddings, categories of functors, equivalences of categories... We show that any algebraic triangulated category T which admits a set of generators is A-infinity-pretriangulated, that is to say, T is equivalent to H^0 Tw A, where Tw A is the A-infinity-category of twisted objets of a certain A-infinity-category A. Thus we give detailed proofs of a part of the results on homological algebra which M. Kontsevich stated in his course ``Triangulated categories and geometry'' (ENS Ulm, Paris, 1998).
Nous étudions les A-infini-algèbres Z-graduées (non nécessairement connexes) et leurs A-infini-modules. En utilisant les constructions bar et cobar ainsi que les outils de l'algèbre homotopique de Quillen, nous décrivons la localisation de la catégorie des A-infini-algèbres par rapport aux A-infini-quasi-isomorphismes. Nous adaptons ensuite ces méthodes pour décrire la catégorie dérivée DA d'une A-infini-algèbre augmentée A. Le cas où A n'est pas muni d'une augmentation est traité différemment. Néanmoins, lorsque A est strictement unitaire, sa catégorie dérivée peut être décrite de la même manière que dans le cas augmenté. Nous étudions ensuite deux variantes de la notion d'unitarité pour les A-infini-algèbres : l'unitarité stricte et l'unitarité homologique. Nous montrons que d'un point de vue homotopique, il n'y a pas de différence entre ces deux notions. Nous donnons ensuite un formalisme qui permet de définir les A-infini-catégories comme des A-infini-algèbres dans certaines catégories monoïdales. Nous généralisons à ce cadre les constructions fondamentales de la théorie des catégories : le foncteur de Yoneda, les catégories de foncteurs, les équivalences de catégories... Nous montrons que toute catégorie triangulée algébrique engendrée par un ensemble d'objets est A-infini-prétriangulée, c'est-à-dire qu'elle est équivalente à H^0 Tw A, où Tw A est l'A-infini-catégorie des objets tordus d'une certaine A-infini-catégorie A. Nous démontrons ainsi une partie des énoncés d'algèbre homologique presentés par M. Kontsevich pendant son cours ``Catégories triangulées et géométrie'' à l'ENS en 1998.
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