critical functions and elliptic PDE on compact riemannian manifolds

Fonctions critiques et équations aux dérivées partielles elliptiques sur les variétés riemanniennes compactes

Stephane Collion (1)

1 Projet Géométrie et Dynamique

This thesis studies a familly of non-linear PDE on a compact riemannian manifold of dimension n?3 of the form . These equations have a variational structure and we seek solutions which minimize the energy among those functions u of W1,2 which satisfy Cf(u)= . Th Aubin prooved that one always have , where cn is a constant that depends only of the dimension, and that if this inequality is strict then there exists a minimizing solution to the equation. I show in my work existence theorems in the limiting case when this inequality is an equality by using a notion of « critical function » introduced by E. Hebey and M. Vaugon, and I proove various results concerning these critical functions.

Cette thèse s'intéresse à la résolution d'EDP non linéaire sur une variété riemannienne compacte (M,g) de dimension n 3 de la forme : . Ces équations ont une structure variationnelle et on cherche des solutions qui minimisent l'énergie : parmi les fonctions u de W1,2 qui vérifient Cf(u)= . Th. Aubin a montré qu'on a toujours : , où cn est une constante qui ne dépend que de la dimension, et que de plus si l'inégalité est stricte, alors l'équation a des solutions minimisantes. Je montre dans mon travail des théorèmes d'existence dans le cas limite où cette inégalité est une égalité en utilisant une notion de « fonction critique » introduite par E. Hebey et M. Vaugon, et je montre différents résultats concernant ces fonctions critiques.

Mots clés: Elliptic PDE; Sobolev Inequalities; Variational methods; Riemannian geometry

Mots clés: EDP elliptiques; inclusions de Sobolev; exposant critique; méthodes variationnelles; solutions minimisantes; fonction critique

Domaines: Mathématiques [math]

Stephane Collion. Fonctions critiques et équations aux dérivées partielles elliptiques sur les variétés riemanniennes compactes. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00007685v2⟩