Mathematical analysis of diffusion models in a poroelastic medium
Analyse mathématique de modèles de diffusion en milieu poreux élastique
Résumé
Wave propagation in fluid-saturated porous media is a complex phenomenon which occurs in various domains like seismic imaging or petroleum engineering. It is described by a Biot model which couples the displacement of the structure u with the fluid pressure p and the most complete system involves coupled equations which are mixed hyperbolic-parabolic. The first equation describes the evolution of the displacement of the structure while the evolution of the fluid is related to a combination of the Darcy law with the fluid mass conservation. The coupling terms include the pressure/deformation effects, also called consolidation effects, du to the interactions between the fluid and the porous medium. A secondary consolidation term can also occur in the first equation. When it is neglected, the model is the so-called linearized thermoelasticity system and p is then a temperature. Another interesting limit case of the Biot model is when the structure density vanishes which is a quasi-static phenomenon. At last, a nonlinear Biot model is obtained introducing a nonlinear potential with a q-Laplacian in the linear elasticity potential. Existence results are proved in several cases using the Galerkin approximation method or regularization and penalization methods while Ladyzenskaja's test-functions are used for the uniqueness. Moreover, it is proved that the thermoelastic and the quasi-static systems are asymptotic models of the complete problem. We conclude by studying the long time behavior of the solutions when secondary consolidation effects are considered.
La propagation d'ondes élastiques dans un milieu poreux saturé de fluide est un phénomène complexe intervenant dans de nombreuses applications comme la prospection d'hydrocarbures. Ce phénomène est transcrit au moyen d'un système couplé d'équations hyperbolique-parabolique dû à M. A. Biot d'inconnues u, déplacement de la structure et p, pression du fluide. La première équation décrit l'évolution en temps de u tandis que la seconde est une équation de diffusion obtenue en injectant la loi de Darcy dans la loi de conservation de la masse. Le couplage représente les effets dits de consolidation dus aux interactions entre le fluide et la structure poreuse. Un terme de consolidation secondaire peut intervenir dans la première équation et si on le néglige, le système obtenu correspond à un modèle utilisé en thermoélasticité. Un autre cas limite du modèle de Biot est le cas quasi-statique où la densité de la structure est négligeable. Enfin, un modèle non linéaire peut s'obtenir en perturbant le potentiel d'élasticité linéaire par un potentiel non linéaire représenté par un q-Laplacien. On montre ici l'existence et l'unicité des solutions des modèles de Biot linéaire et non linéaire dans différents cas variant en fonction des paramètres physiques. On utilise des méthodes d'approximation de Galerkin, des techniques de régularisation et de pénalisation pour l'existence et des fonctions-test de Ladyzenskaja pour les résultats d'unicité. On compare les modèles thermoélastique et quasi-statique au modèle complet en estimant dans chaque cas les taux de convergence en fonction des paramètres avant d'étudier le comportement en temps long du modèle.