Unified multifractal description of the intermittency phenomenon in Eulerian and Lagrangian turbulence
Description multifractale unifiée du phénomène d'intermittence en turbulence Eulérienne et Lagrangienne
Résumé
The multifractal formalism of Parisi and Frisch, and the Propagator approach of Castaing et al., provide a quantitative description of the statistical behavior, in the inertial range, of velocity increments of fully developed turbulent flows. In this PhD thesis, we show that the physics of dissipative effects, that is completely governed by the local Reynolds number, has non trivial consequences on velocity increment statistics. Thanks to simple dimensional arguments, we propose a unified picture, in the framework of the multifractal formalism, of the "acceleration" of the propagator observed in the intermediate dissipative range, in between the inertial range and the dissipative range in which statistics become independent on scale. In particular, we show that it is possible to compute, for a given Reynolds number, the probability density function of velocity increments at every scale, a function that depends only on a single parameter function DE(h) that acquires the mathematical status of singularity spectrum in the limit of infinite Reynolds numbers. We discuss how to adapt our formalism in order to take into account the phenomenon of Skewness. We show that it is possible to generalize our formalism to describe the statistics of Lagrangian velocity fluctuations. We compare our theoretical predictions to experimental and numerical data. This study allows us to estimate the singularity spectrum DL(h) of Lagrangian velocity and to demonstrate its universal behavior. Then, we show that it is possible to establish a formal transformation between the singularity spectra DE(h) of Eulerian turbulence and DL(h) of Lagrangian turbulence. To conclude, we generalize our approach to higher order statistics in order to test various cascade model predictions on experimental and numerical data.
Le formalisme multifractal de Parisi et Frisch, ainsi que l'approche du propagateur de Castaing et collaborateurs, permettent de décrire de manière quantitative, dans le domaine inertiel, les statistiques des incréments de vitesse longitudinale en turbulence pleinement développée. Dans ce mémoire de doctorat, nous montrons que la physique liée aux effets dissipatifs, complètement pilotée par le nombre de Reynolds local, a des conséquences non triviales sur les statistiques des incréments de vitesse Eulérienne. A l'aide d'arguments dimensionnels simples, nous proposons une formalisation précise, dans le cadre du formalisme multifractal, de "l'accélération" du propagateur observée dans le domaine dissipatif intermédiaire, entre le domaine inertiel et le domaine dissipatif profond dans lequel les statistiques des incréments deviennent indépendantes de l'échelle. Nous montrons en particulier qu'il est possible, pour un nombre de Reynolds donné, de calculer la densité de probabilité des incréments de vitesse à toutes les échelles, moyennant une fonction paramétrable DE(h), qui sera assimilée au spectre des singularités dans la limite des nombres de Reynolds infiniment grands. Nous discutons aussi comment adapter notre formalisme pour rendre compte du phénomène de Skewness. Nous montrons qu'il est possible de généraliser notre approche à une description unifiée des fluctuations de vitesse Lagrangienne. Nous comparons nos prédictions théoriques avec des données expérimentales et numériques. Cette étude permet d'estimer le spectre DL(h) des singularités de la turbulence Lagrangienne et d'en démontrer le caractère universel. Nous évoquons ensuite la possibilité d'établir une transformation formelle entre les spectres des singularités de la turbulence Eulérienne DE(h) et de la turbulence Lagrangienne DL(h). Pour conclure, nous généralisons notre approche aux statistiques d'ordre supérieur afin de tester divers modèles de cascade sur des données expérimentales et numériques.