Tree-like structures: algorithmics and combinatorial problems
Structures arborescentes : problèmes algorithmiques et combinatoires
Résumé
The first part is devoted to enumerative combinatorics. In the third first chapters, we study the families of Cayley trees such that the root is lower than its sons under some combinatorial parameters (number of vertices, label of the root, inversion polynomial), and of alternating trees. Most of our proofs are based on bijections. In the next chapter, we are interested in the enumeration of colored trees, with the formula of Good-Lagrange (inversion of multivariated formal power series). We give a new bijective proof of a variant of this formula and apply this proof in the enumeration and random generation of arborescent structures (like planar cacti). We conclude this part by a proof of a (new) formula for the enumeration of constellation under the number of vertices and faces. In the second part, we study the problem of tree pattern matching, using a classical data structure (for words): the suffix tree. We propose a new tree pattern matching algorithm, based on encoding a tree with words and using the suffix tree of one of these words, which seems to have good experimental properties. We conclude by proposing a notion of suffix tree of a tree and an algorithme computing such a structure.
La première partie de ce mémoire est consacrée à l'énumération de diverses familles de structures arborescentes, en général selon le nombre de sommets. Les trois premiers chapitres sont consacrés à l'étude des arborescences de Cayley telles que la racine est inférieure à ses fils et des arborescences alternantes. La plupart de nos résultats sont prouvés bijectivement. Nous nous intéressons ensuite aux arborescences coloriées, et plus particulièrement à la formule d'inversion de séries formelles multivariées de Good-Lagrange. Nous donnons une nouvelle preuve bijective d'une variante de cette formule et utilisons cette preuve pour prouver combinatoirement diverses formules d'énumération de structures arborescentes et en déduire des algorithmes de génération aléatoire pour ces structures (notamment les cactus planaires). Nous concluons cette première partie par un chapitre consacré aux constellations : en combinant notre preuve de la formule de Good-Lagrange et la conjugaison d'arborescences (due à Bousquet-Mélou et Schaeffer), nous prouvons bijectivement une formule (nouvelle) pour l'énumération de constellations selon le nombre de sommets et de faces. Dans la seconde partie, nous étudions le problème de la recherche de motifs dans une arborescence, en utilisant une structure de données classique pour les mots : l'arborescence des suffixes. Nous proposons notamment un algorithme de recherche de motifs dans une arborescence, basé sur un codage d'une arborescence par des mots et sur l'utilisation de l'arborescence des suffixes d'un de ces mots, qui semble avoir de bonnes propriétés expérimentales. Nous concluons en étendant la notion d'arborescence des suffixes des mots aux arborescences et en décrivant un algorithme de construction pour cette structure.