Random coverings and self-similar Markov processes
Recouvrements Aléatoires et Processus de Markov Auto-Similaires
Abstract
This thesis is composed of two parts. The first deals with the construction of a random set which has the property of regeneration. Precisely, we construct random intervals from the partial records of a Poisson point process; these are used to partially cover $\mathbb(R)^+.$ The purpose of this work is to study the random set $\Rs$ that is left uncovered. We give integral tests to decide whether the random set $\Rs$ has a positive Lebesgue measure, has isolated points or if it is bounded. We show that $\Rs$ is, indeed, a regenerative set and characterize its law via the potential measure of the subordinator associated to $\Rs$. We obtain formulas to estimate some fractal dimensions of $\Rs.$ The second part consists of some contributions to the theory of positive self--similar Markov processes. To obtain the results of this part, we use Lamperti's transformation which establishes a bijection between this class of processes and real--valued Lévy processes. Firstly, we are interested in the behavior at infinity of increasing self--similar Markov processes. In this vein, under some hypotheses, we find a deterministic function $f$ such that the liminf, as $t$ goes to infinity, of the quotient $X_t/f(t)$ is finite and different from 0 with probability $1.$ We obtain an analogous result which determines the behavior near of 0 of the process $X$ started from 0. Secondly, we study the different ways to construct a positive self--similar Markov process $\widetilde(X)$ for which 0 is a regular and recurrent point. To this end, we give some conditions that enable us to ensure that a such process exists and to determine its resolvent. Next, we make a systematic study of the Itô excursion measure $\exc$ of the process $\widetilde(X)$. In particular, we give a description of $\exc$ similar to that of Imhof for Itô's excursion measure of Brownian motion; we determine the law under $\exc$ of the normalized excursion and the image under time reversal of $\exc$. Furthermore, we construct and describe a process which is in weak duality with the process $\widetilde(X).$ We obtain some estimations of tail probabilities of the law of an exponential functional of a Lévy process.
Cette thèse comprend deux parties. La première traite de la construction d'un ensemble aléeatoire qui a la propriété de régénération. Plus précisement, on construit des intervalles aléatoires issus des maxima locaux d'un processus de Poisson ponctuel. Ceux-ci sont utilisés pour recouvrir partiellement la semi--droite des réels positifs et on s'intéresse alors à l'ensemble résiduel $\Rs,$ des points qui n'ont pas été recouverts. On donne des critères intégrales pour déterminer si l'ensemble $\Rs$ a une mesure de Lebesgue non nulle, si il est discret ou encore si il est borné. On montre que l'ensemble $\Rs$ est régenératif et on caractérise le subordinateur associé via sa mesure potentiel. On donne des formules pour calculer quelques dimensions fractales pour $\Rs.$ La deuxième partie est constituée de quelques contributions à la théorie des processus de Markov auto--similaires positifs. Pour obtenir les résultats de cette partie on utilise amplement la transformation de Lamperti qui permet de rélier les processus de Markov auto--similaires positif aux processus de Lévy à valeurs dans $\re.$ On s' interesse d'abord, au comportement à l'infini d'un processus de Markov auto--similaire croissant. On détermine, sous certaines hypothèses, une fonction déterministe $f$ telle que la limite inférieure, lorsque $t$ tend vers l'infini, du quotient $X_t/f(t)$ est finie et non nulle avec probabilité $1.$ Un résultat analogue est obtenu pour déterminer le comportement près de 0 du processus $X$ issu de 0. Ensuite, on étudie les différentes manières de construire un processus de Markov auto--similaire $\widetilde(X)$ pour lequel 0 est un point régulier et récurrent. En premier lieu, on donne des conditions qui nous permettent d'assurer qu'un tel processus existe et d'expliciter sa résolvante. En second lieu, on fait une étude systématique de la mesure d'excursions d'Itô $\exc$ pour le processus $\widetilde(X)$. On donne en particulier une description à la Imhof de $\exc,$ on determine la loi sous $\exc$ de l'excursion normalisée et l'image sous retournement de temps de $\exc$. De plus, on construit et on décrit un processus qui est en dualité faible avec le processus $\widetilde(X).$ On obtient diverses estimations de la queue de probabilité de la loi d'une variable aléatoire fonctionnelle exponentielle d'un processus de Lévy.
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