On the McKay correspondences for the Hilbert scheme of points on the affine plane

Sur les correspondances de McKay pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine

Samuel Boissière (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

The quotient of a finite-dimensional vector space by the action of a finite subgroup of automorphisms is usually a singular variety. Under appropriate assumptions, the McKay correspondence relates the geometry of nice resolutions of singularities and the representations of the group. For the Hilbert scheme of points in the affine plane, we study how the different correspondences (McKay, dual McKay and multiplicative McKay) are related to each other. For this purpose, we compute combinatorial formulas for the usual vector bundles on the Hilbert scheme of points in the affine plane. We also study the multiplicative behavior of the theorem of Bridgeland, King \& Reid constructing the McKay correspondence for the Hilbert scheme of points in the affine plane. We finish with the computation of the Chern classes of the tangent bundle on the Hilbert scheme of points on the affine plane.

Le quotient d'un espace vectoriel de dimension finie par l'action d'un sous-groupe fini d'automorphismes est une variété en général singulière. Sous bonnes hypothèses, la correspondance de McKay relie la géométrie de bonnes résolutions des singularités aux représentations du groupe. Pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine, nous étudions comment les différentes correspondances (McKay, McKay duale et McKay multiplicative) sont reliées les unes aux autres. A cette fin, nous calculons des formules combinatoires pour les fibrés vectoriels usuels sur le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Parallèlement à ces questions, nous étudions le comportement multiplicatif du théorème de Bridgeland, King \& Reid construisant la correspondance de McKay pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Dans une dernière partie, nous calculons les classes de Chern du fibré tangent au schéma de Hilbert de points sur le plan affine.

Mots clés: Hilbert schemes; McKay correspondence; symmetric functions; equivariant cohomology; characteristic classes; Macdonald polynomials

Mots clés: schémas de Hilbert; correspondance de McKay; fonctions symétriques; cohomologie équivariante; classes caractéristiques; polynômes de Macdonald

Domaines: Mathématiques [math]

Samuel Boissière. Sur les correspondances de McKay pour le schéma de Hilbert de points sur le plan affine. Mathématiques [math]. Université de Nantes, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00007177⟩