Vibrations of a smectic membrane : the role played by the contour shape
Vibrations d'une membrane smectique : rôle de la forme du contour
Résumé
Due to some specific properties (uniformity of thickness, bidimensional density and tension), liquid crystal films in smectic phase constitute ideal membranes which obey the Helmholtz wave equation, with Dirichlet boundary condition. In this PhD thesis, a new experiment has been developed which allows, for a film spanned on a given shape, to measure, not only its spectrum of eigenfrequencies, but also the geometrical shape of the eigenmodes. It has indeed been possible to analyse the role of the membrane shape. First, a "prefractal" shape has been studied. This shape is made of a quadratic Koch curve, which building has been stopped at a finite iteration order. The agreement between the experimental results and some numerical ones (obtained by other authors) is excellent. Two physically different mechanisms of localization for the wavefunctions have been pointed out. A mathematical problem has also been studied, which can be expressed by "Can one hear the shape of a drum?". The mathematically predicted answer is "no", which means that there exist geometrically different shapes, which lead to the same spectrum of eigenfrequencies : these shapes are named "isospectral". The isospectrality of two such shapes has been checked experimentally with a good precision. It has also been shown in a detailed manner that only the symmetry rules for building the shapes, based on the group theory, matter.
Grâce à leurs propriétés spécifiques (homogénéité de l'épaisseur, de la densité bidimensionnelle et de la tension), les films de cristaux liquides smectiques forment des membranes bidimensionnelles idéales obéissant à l'équation d'onde de Helmholtz, avec les conditions de Dirichlet au bord. Dans cette thèse, une nouvelle expérience a été mise au point, qui permet, pour un film tendu sur un contour donné, de mesurer non seulement son spectre de fréquences propres, mais aussi la forme géométrique des modes. Le rôle de la forme de la membrane a ainsi pu être analysé. On a commencé par étudier une forme "préfractale", constituée par une courbe de Koch quadratique, dont la construction a été arrêtée à un ordre d'itération fini. L'accord entre les résultats expérimentaux et des résultats numériques obtenus par d'autres auteurs, tant sur le spectre que sur l'allure des modes propres, est excellent. Deux mécanismes de localisation des fonctions d'onde, d'origines physiques différentes, ont été mis en évidence. L'autre question étudiée est un problème mathématique que l'on peut résumer par : "Peut-on entendre la forme d'un tambour?" La réponse prévue par les mathématiciens est "non", c'est-à-dire qu'il existe des formes géométriques différentes, conduisant à des spectres de fréquences propres identiques ; ces formes sont appelées "isospectrales". On a ainsi vérifié expérimentalement l'isospectralité de deux contours avec une bonne précision. On a également montré en détail que seules les symétries de construction de ces deux contours, basées sur la théorie des groupes, importaient.
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