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Fiche détaillée Thèses
Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (25/05/2004), Hindry Marc (Dir.)
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Minoration de la hauteur de Néron-Tate pour les points et les sous-variétés : variations sur le problème de Lehmer
Nicolas Ratazzi1

Cette thèse est consacrée aux problèmes de minorations de hauteur normalisée des points et des sous-variétés non de torsion. Le chapitre 1 est un chapitre de rappels, les autres sont originaux. On prouve au chapitre 2 un résultat de densité de petits points. Ceci nous permet d'obtenir, pour les sous-variétés de variétés abéliennes de type C.M., une minoration en fonction du degré de la sous-variété, optimale aux puissances de log du degré près. On montre en toute généralité qu'une ``bonne minoration'' de la hauteur des points entraîne une minoration analogue de la hauteur des sous-variétés. Ceci nous permet en particulier de prouver que, sur les variétés abéliennes, le problème de Lehmer pour les points est équivalent au problème de Lehmer pour les sous-variétés. Le chapitre 3 est un raffinement du précédent dans le cas des hypersurfaces. La preuve, qui passe par l'introduction d'une fonction auxiliaire, suit le schéma classique des preuves de transcendance. En utilisant l'inégalité des pentes, due à Bost, on retrouve ensuite au chapitre 4 le célèbre résultat de Dobrowolski concernant le problème originel de Lehmer sur la minoration de la hauteur des entiers algébriques. Le chapitre 5 étend un résultat de Amoroso et Zannier au cas des courbes elliptiques C.M. : on obtient une minoration du type Lehmer, mais où le degré de l'extension engendrée par le point P sur K est remplacé par le degré de l'extension engendrée par le point P sur la clôture abélienne de K. Ceci nous permet de simplifier la preuve d'un résultat de Viada. Enfin au chapitre 6, on fait le lien entre diverses conjectures relatives au problème de Lehmer sur les variétés abéliennes.
1 :  IMJ - Institut de Mathématiques de Jussieu
courbes elliptiques – variétés abéliennes – hauteur normalisée – degré d'Arakelov – problème de Lehmer – inégalité des pentes – géometrie diophantienne

Lower bound for the Néron-Tate height of points and subvarieties : variations on the Lehmer's problem
This thesis is dedicated to the problems of lower bound for the normalised height of points and subvarieties. In the chapter 2, we prove a result of density of small points. This enables us to obtain for the height of subvarieties of Abelian varieties of C.M. type, a lower bound, optimal up to a power of a ``log'' of the degree. We prove in full generality that ``a good lower bound'' for the height of points implies the analogous lower bound for the subvarieties. This enables us in particular to prove that, on abelian varieties, the Lehmer's problem for points is equivalent to the Lehmer's problem for all the subvarieties. The chapter 3 is an amelioration in the case of hypersurfaces. The proof, introducing an auxiliary function, follows the classical scheme of transcendance's proofs. Using the slopes inequality of Bost, we reobtain then a celebrated result of Dobrowolski in the chapter 4. The chapter 5 extends a result of Amoroso and Zannier to the case of C.M. elliptic curves: we obtain of Lehmer's type lower bound, but with the degree of the extension generated by P over K replaced by the extension generated by P over the abelian extension of K. This enables us to simplify the proof of a result of Viada. Finally we explain the relations between different conjectures concerning the Lehmer's problem on Abelian varieties.
elliptic curves – abelian varieties – normalised height – Lehmer's problem – slopes inequality – Arakelov degree – diophantine geometry

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