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Université Paul Sabatier - Toulouse III (29/03/2004), MASMOUDI Mohamed (Dir.)
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L'analyse asymptotique topologique pour les équations de Maxwell et applications
Bessem SAMET1

L'optimisation de forme topologique permet d'obtenir une grande variété de formes possibles. Ces domaines, qui peuvent être complexes, sont généralement représentés implicitement par une fonction courbe de niveaux: la densité de matière dans le cas de l'optimisation topologique par homogénéisation, une fonction courbe de niveaux dans le cas de la méthode des level-sets et le gradient topologique donné par l'expression de l'asymptotique topologique. Le dernier cas, objet de cette thèse, présente une propriété fondamentale: la positivité du gradient topologique est une condition nécessaire et même suffisante d'optimalité. Plus précisément, soit Omega un domaine borné et j(Omega) = J(u_Omega), un critère qui dépend de Omega via la solution d'un problème d'équations aux dérivées partielles noté u_Omega. Dans la plupart des cas, la variation j(Omega - B(x, epsilon)) - j(Omega) admet un développement asymptotique (par rapport à epsilon) qui s'écrit sous la forme: f(epsilon)g(x)+o(f(epsilon)), où f(epsilon) est une fonction positive qui tend vers 0 avec epsilon. Ainsi, pour minimiser le critère, il faut créer des trous là où la fonction $g$, appelée gradient topologique, est négative. De telles formules asymptotiques ont été déjà établies pour divers problèmes. Dans cette thèse, les principaux points abordés sont: l'insertion d'une inhomogénéité dans le domaine, le cas d'opérateurs différentiels dont le symbole est non homogène (Helmholtz, Maxwell), trou de forme quelconque et le cas d'un trou sur le bord du domaine. Les résultats obtenues sont validés par des tests numériques comme par exemple l'optimisation des guides d'onde.
1:  MIP - Mathématiques pour l'Industrie et la Physique
optimisation de forme – optimisation topologique – gradient topologique – équation de Helmholtz – équations de Maxwell.

The topological asymptotic analysis for the Maxwell equations and applications
Topological optimization methods become very attractive for industrial applications. It becomes possible to satisfy more challenging specifications of industrial products by allowing modifications of the topology of the initial design. The most relevant topological optimization methods are based on the computation of a level set function: the material density in the case of the topological optimization via the homogenization theory, the built-in level set function in the level set method, and the topological gradient provided by the topological asymptotic expansion, which is the concern of this thesis. In the latter case, at convergence, the positivity of the topological gradient inside the final domain provides a necessary and sufficient optimality condition. To present the basic idea, we consider a domain Omega and j(Omega) = J(u_Omega) a cost function to be minimized, where u_Omega is the solution to a given PDE problem defined in Omega. We can generally prove that the variation of the criterion j(Omega - B(x, epsilon)) - j(Omega) is given by the asymptotic expansion (with respect to epsilon): f(epsilon)g(x)+o(f(epsilon)), where f(epsilon)>0 and tends to zero with epsilon. To minimize the criterion j, we just have to create infinitely small holes at some points where the topological gradient $g$ is negative. Such asymptotic formulas have already been obtained for various problems. In this thesis, we deal with the following topics: the insertion of small inhomogeneities in the domain, the case of non-homogeneous differential operators, arbitrary shaped hole and a hole at the boundary of the domain. The obtained results are illustrated by numerical experiments such as the optimization of waveguides.
shape optimization – topological optimization – topological gradient – Helmholtz equation – Maxwell equations.

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