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Ecole des Ponts ParisTech (18/06/2002), La Bourdonnaye (de) Armel (Dir.)
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La méthode multipôle rapide en électromagnétisme. Performances, parallélisation, applications
Guillaume Sylvand1

Parmi les différentes méthodes permettant de résoudre les équations de Maxwell harmoniques pour les problèmes de diffraction d'onde, la méthode des éléments finis de frontière [1] offre la particularité de permettre une résolution exacte tout en prenant parfaitement en compte les conditions de radiation à l'infini. De plus, seule la frontière des objets doit être maillée. La figure 1 représente les différentes étapes d'un tel calcul : à gauche se trouve le maillage surfacique d'un avion furtif, au milieu sont représentés les courants surfaciques (du moins leur partie réelle) issus de l'illumination par une onde plane, à droite enfin se trouve le champ lointain diffracté par l'avion dans un plan horizontal.
Le système linéaire à résoudre est malheureusement plein, ce qui rend difficile la résolution de problème pour des objets de diamètre supérieur à quelques longueurs d'onde. L'utilisation de la méthode multipôle rapide [2], en conjonction avec un solveur itératif comme GMRES [3], permet de repousser les limites et de traiter des cas de calcul beaucoup plus volumineux [4].
En collaboration avec EADS-CCR, nous avons développé une implémentation parallèle haute performance de la méthode multipôle rapide qui nous a permis de résoudre des problèmes de diffraction d'ondes électromagnétiques par des structures de taille jamais atteinte auparavant. Par exemple, un avion comme celui représenté ci dessus illuminé par une onde plane de fréquence 1 GHz conduit à la résolution d'un système linéaire plein d'ordre 10 puissance 6. Cette résolution, quasiment irréalisable sans méthode multipôle, prend désormais 19 heures sur une station de travail. Des calculs portant sur plusieurs dizaines de millions d'inconnues ont également été réalisés sur des calculateurs parallèles.
1:  CERMICS - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques, Informatique et Calcul Scientifique
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http://pastel.paristech.org/archive/00000308/

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