Functional and numerical methods for the approximation of nonlinear boundary value problems of mixed type elliptic / hyperbolic

Méthodes fonctionnelles et numériques pour l'approche de problèmes aux limites non linéaires mixtes elliptiques / hyperboliques

Jean-Sébastien Le Brizaut (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

Works presented in this report in order to obtain an HDR concern nonlinear boundary value problems of mixed type elliptic / hyperbolic. We also take into account an inequality constraint. Here we present the significant case of the boundary value problem issued from the Karman and Guderley model with entropic condition. The advantage of this problem is the simplicity of its description. Nevertheless, it contains a nonlinear term involving principal difficulties of nonlinear problems of mixed type. This boundary value problem is ill posed : functional spaces assuming existence or uniqueness of the solution doesn't exist. Our aim is to present a analysis method assuming coherence between functional and numerical results. First, the boundary value problem is considered without taking into account entropic condition. Using variational formulation and generalized Green formula, we transform the problem : we have now to annul an adapted projection. Introducing adapted norm, we minimize a criterion. Then, we consider the entropic condition. The constraint is also modified by the generalized Green formula : the inequality constraint is transformed in an equality one. A penalized criterion is minimized.

Les travaux présentés dans cette synthèse en vue d'une Habilitation à Diriger des Recherches concernent des problèmes aux limites non linéaires mixtes elliptiques hyperboliques auxquels on adjoint une contrainte inégalité. Ici nous présentons le cas significatif présenté par le problème aux limites résultant du modèle de Karman et Guderley avec condition d'entropie. Ce problème a l'avantage de se présenter simplement tout en présentant un terme non linéaire conduisant aux difficultés fondamentales des problèmes mixtes non linéaires. Ce problème aux limites est mal posé : il n'existe pas de cadre fonctionnel assurant l'existence de solutions. Notre propos est de proposer une méthode d'analyse assurant la cohérence entre les résultats fonctionnels et numériques. On commence par traiter le problème aux limites sans contrainte. L'utilisation d'une formulation variationnelle et de la formule de Green généralisée ramènent le problème à montrer qu'une projection adaptée s'annule. L'introduction d'une norme adaptée conduit à minimiser une fonctionnelle. On utilise des solutions généralisées à epsilon près correspondant aux quasi minima d'Ekeland. On considère ensuite le problème aux limites avec contrainte. Le paramètre d'entropie est recherché dans un intervalle réel suffisamment grand a priori. La contrainte est également transformée par la formule de Green généralisée ce qui conduit à une contrainte égalité. Une fonctionnelle pénalisée est minimisée.

Mots clés: Optimisation; méthodes à epsilon près; solutions généralisés; pénalisation; modèle de Karman et Guderley; condition d'entropie

Domaines: Mathématiques [math]

Jean-Sébastien Le Brizaut. Méthodes fonctionnelles et numériques pour l'approche de problèmes aux limites non linéaires mixtes elliptiques / hyperboliques. Mathématiques [math]. Université de Nantes, 2004. ⟨tel-00005350⟩