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Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON (22/11/2002), Flandrin Patrick (Dir.)
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Modèles et outils pour les invariances d'échelle brisées: variations sur la transformation de Lamperti et contributions aux modèles statistiques de vortex en turbulence
Pierre Borgnat1

La transformation de Lamperti, connue pour mettre en correspondance les
processus stationnaires et les processus auto-similaires, nous permet
d'aborder de manière générale la description des propriétés en échelle
de problèmes physiques ou de signaux stochastiques. La notion d'échelle
pertinente est montrée être celle construite sur les décompositions de Mellin
et nous utilisons l'idée de la correspondance de Lamperti pour
étudier les propriétés des processus auto-similaires à l'aide des outils
de l'analyse du signal stationnaire. D'autre part l'outil est généralisé aux
situations non invariantes en échelle ou avec des invariances brisées,
et offre une correspondance généralisée avec les problèmes d'analyse
de signaux non stationnaires.

Des méthodes de représentation, de modélisation et d'analyses sont construites
de cette manière, en particulier les classes de représentations mixtes
temps-échelle. Nous étudions des situations spécifiques de brisure de
l'invariance en échelle incorporant les effets de taille finie, ou
une invariance seulement locale, et nous mettons l'accent sur la propriété
d'invariance en échelles discrètes stochastique que nous introduisons
comme correspondant en échelle à la cyclostationarité.

Parallèlement, la turbulence développée, dont les propriétés en échelle sont
un ingrédient important, a été abordée par l'angle des modèles fondés sur des
collections statistiques d'objets cohérents comme des vortex. Nous avançons
quelques réflexions sur la caractérisation de la signature de ces objets
structurés et avons spécifiquement examiné le modèle de vortex de Lundgren,
en cherchant à le formuler à l'aide des outils en échelle de Mellin.
1:  Phys-ENS - Laboratoire de Physique de l'ENS Lyon
invariance d'échelle – temps-fréquence – temps-échelle – transformation de Lamperti – décomposition de Mellin – invariance d'échelle discrète – turbulence – modèles de vortex – vortex de Lundgren
http://perso.ens-lyon.fr/pierre.borgnat

Models and methods for broken scale invariance: Variations on the Lamperti transformation and contributions on vortices collections for turbulence modeling
Lamperti transformation is a known means to connect stationary processes and
self-similar processes. We enlarge its use to deal in a general way with the
description of scale properties in physics problems or for stochastic processes.
The proper notion of scale according to this transformation is found to be
based on the Mellin intregral transform and we first use it to study the general
properties of self-similar processes by converting stationary results or
methods. Second, we generalize the Lamperti transformation to broken
scale invariance and introduce an enlarged connection for those problems with
nonstationary signal processing.

We propose results on representation, modelization and analysis for complete or
broken scale invariance, with a focus on mixed time-Mellin scale representations.
Specific kind of broken invariance are envisaged: finite size scale invariance,
local self-similarity and a major part is devoted to stochastic discrete scale
invariance that we define and study as the image in the scale domain
of cyclostationarity.

The scale properties are central to the problem of fluid turbulence and we
study turbulence by means of the fine-structure models of turbulence based on
collections of coherent structures or vortices. We propose some reflexions
on the characterization of coherent structures and we specifically focus on
the Lundgren strained spiral vortex model by means of the (Mellin)
scale representations.
scale invariance – time-frequency – time-scale – Lamperti transformation – Mellin transformation – discrete scale invariance – turbulence – Lundgren vortex – spiral vortex model

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