Quadratic and geometric optimization for problems of inverse dosimetry
Optimisation quadratique et géométrique de problèmes de dosimétrie inverse
Résumé
Radiation therapy uses the energy imparted by X-rays, usually called dose, in order to kill tumours: this method offers the advantage to be non-invasive. Because all parts of the body get some dose, it requires, however, a great prudence. The dosimetric planning is necessary for concentrating the dose in the tumour and saving healthy tissues as far as possible. This task is performed by radiophysicists, who determine a treatment plan after several tests. The aim of our work, which has been applied to the treatment of the prostate, is to automate this stage. We deal first with the dose calculation problem. We recall the main methods, and detail particularly one of them, the Clarkson method. Then we build, for a circular field, a dose model based on spline functions and using tridimensional experimental data. We compare this model to multilinear interpolations of the data. In order to choose a central target within the prostate, we deal with the problem of finding the smallest ball enclosing a finite number of points. We develop an algorithm based on geometric properties, which represents an extension of the well-known Chrystal-Peirce algorithm to all dimensions. We prove that this algorithm stops after a finite number of iterations and present many experimental tests in order to show its efficiency. Finally, we display its analytical side and prove that it is in fact a subgradient algorithm. The last part of this thesis is devoted to the treatment plan optimization. We decide to keep a multi-beams treatment, and define the problem as the minimization of a function with several constraints. We compare the results for different shapes of beams and note a real improvement in comparison with present treatments.
La radiothérapie utilise les densités massiques d'énergie (appelées doses) que délivrent les rayonnements ionisants, afin de détruire des tumeurs : cette technique présente l'énorme avantage d'être non invasive. Elle nécessite cependant une grande prudence car lors d'une irradiation, toutes les parties du corps reçoivent une certaine dose. Le travail de dosimétrie est confié aux radiophysiciens qui, par essais successifs, déterminent une balistique de traitement permettant de concentrer la dose sur la tumeur en épargnant autant que possible les tissus sains. Le but de notre travail, qui se limite à la radiothérapie de la prostate, est d'automatiser cette étape. Le problème de dosimétrie directe consiste, pour une balistique donnée, à calculer la dose en un point du corps. Nous rappelons les principales méthodes déjà existantes, et détaillons l'une d'elles, la méthode de Clarkson. Nous construisons ensuite, pour un faisceau circulaire, un modèle basé sur le lissage par fonctions spline de données expérimentales tridimensionnelles et le comparons à une interpolation multilinéaire sur les données. Nous traitons, afin de cibler au mieux la prostate, le problème posé par la recherche de la plus petite boule englobant un ensemble de points. Nous développons ainsi un algorithme basé sur des notions géométriques, généralisation au cas multidimensionnel de l'algorithme de Chrystal-Peirce. Nous montrons que cet algorithme converge en un nombre fini d'itérations et effectuons de nombreux tests numériques afin de prouver son efficacité. Nous exposons enfin son côté analytique et montrons qu'il s'agit d'un algorithme de sous-gradient. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'optimisation dosimétrique. En nous plaçant dans le cadre d'un protocole multi-faisceaux, nous définissons ce problème comme minimisation d'une fonctionnelle sur un ensemble de contraintes et comparons les résultats pour différentes géométries de faisceaux. De manière générale, nous notons une réelle amélioration par rapport aux traitements actuels.