Multiflows, metrics and h-perfect graphs : the odd cycles in the combinatorial optimization
Multiflots, métriques et graphes h-parfaits : les cycles impairs dans l'optimisation combinatoire
Résumé
This work deals with problems in Combinatorial Optimization. We study in particular some objects for which problems, that usually are NP-complete, turn out to be polynomial. First, we consider the problem of the multiflow feasibility, that has many applications in Operations Research. Given the specification of one such problem, with the network, the capacities and demands, we look for a proof of existence or non-existence of a solution. One way to treat this problem is to give necessary and sufficient conditions for the existence of a multiflow, as the one known as ``cut condition''. We introduce the (CC, K_5, F_7) condition, that generalizes the cut condition and specialize the existent CC3 condition. The structure of the multiflow problem led us to consider a related problem, namely the metric packing. We treat the integer and the half-integer packing concerning the CC3, K_5 and F_7 metrics. We characterize the class of graphs and, more generally, the class of matroids, for which there exist integer and half-integer packings, under some additional hypotheses. Then, we study general properties of h- and t-perfect graphs, and the associated coloring problem. We present some bounds for the chromatic number, and classes of h- and t-perfect graphs that satisfy a conjecture of Shepherd. Finally, we show the hierarchy of the graphs studied in this document, that is obtained using tools as weakly bipartite graphs, binary clutters and 0-1 matrices. We close pointing out some directions of research that arise with this work, both on the feasibility of multiflows and on the coloring of h- and t-perfect graphs.
Ce travail se situe dans le domaine de l'optimisation combinatoire. Nous étudions plus particulièrement des caractérisations d'objets pour lesquels des problèmes, qui dans le cas général sont NP-complets, deviennent polynomiaux. Nous traitons d'abord le problème de la faisabilité d'un multiflot, qui possède des applications trés importantes en recherche opérationnelle. C'est à dire, étant donnée la spécification du problème, avec le réseau, les capacités et les demandes, on veut démontrer l'existence ou la non-existence d'une solution. Une façon d'aborder ce problème est de donner des conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un multiflot, comme celle connue par condition de coupe. Nous présentons la condition (CC, K_5, F_7), qui généralise la condition de coupe et "raffine" une autre condition existante, la (CC3). La structure du problème de multiflot nous permet aussi de regarder un problème étroitement associé, celui du "packing" de métriques. Nous traitons le cas des packing entiers et demi-entiers, quand la famille de métriques comprend les métriques CC3 et les métriques K_5 et F_7. Nous caractérisons la classe de graphes, et plus généralement de matroïdes, ou l'on peut trouver des packings entiers et demi-entiers, sous quelques hypothèses additionnelles. Puis nous nous intéressons aux propriétés générales des graphes h- et t-parfaits, et au problème de coloration associé. Les résultats que nous présentons donnent des bornes pour leur nombres chromatiques, et des classes qui satisfont une conjecture de Shepherd. Enfin nous présentons la hiérarchie des graphes étudiés, qui est obtenu grâce à des outils comme les graphes faiblement bipartis, les clutters binaires et les matrices à composantes 0,1. Nous clôturons ce mémoire en précisant quelques directions de recherche qui pourront donner suite à ce travail, aussi bien sur le sujet de la faisabilité des problèmes de multiflot, que sur la coloration des graphes h- et t-parfaits.
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