Linear systems inversion for the simulation of ferromagnetic materials. Singularities of the magnetization
Inversion de systèmes linéaires pour la simulation des matériaux ferromagnétiques. Singularités d'une configuration d'aimantation
Résumé
In this thesis, we study two mathematical problems concerning the equations of micromagnetism. These equations govern the configuration of the magnetization in the ferromagnetic materials which enter the fabrication of magnetic heads and Bloch lines memories. In the first part, we describe the physical properties of these materials and give a brief description of the two numerical codes, that have been developed at the LETI-CEA. A configuration of magnetization is a minimum of an energy composed of four terms : the energies of exchange, anisotropy, demagnetization and of Zeemann. Furthermore, the magnetization has a constant norm. It is a problem of minimization of a non quadratique functional, under a non linear constraint. The demagnetizing term of energy is not local. This brings some difficulties for the theoretical and numerical point of view. In the second part, we present the methods that we have implemented to solve the linear systems which appears in the simulation codes. We used a method of preconditionned conjugate gradient type and a method of expansion coupled with the former. In the third part, we prove that there is a finite number of singularities of the magnetization inside the material. For this, we use the theory introduced by Sch\oe n and Uhlenbeck for the functions which minimize the Dirichlet energy on the unite sphere. In particular, we had to take into account the non local characteristic of the demagnetizing energy.
Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes mathématiques concernant les équations du micromagnétisme. Ces équations régissent la configuration de la magnétisation dans les matériaux ferromagnétiques qui entrent dans la fabrication des têtes d'enregistrement magnétique et des mémoires à lignes de Bloch. Dans la première partie, nous décrivons les propriétés physiques de ces matériaux et nous donnons une description sommaire de deux codes de simulation numérique qui ont été développés au LETI-CEA. Une configuration d'aimantation est un minimum d'une énergie composée de quatre termes : les énergies d'échange, d'anisotropie, démagnétisante et de Zeemann. De plus, l'aimantation est de norme constante. Il s'agit d'un problème de minimisation d'une fonctionnelle, sous contrainte non linéaire. Le terme d'énergie démagnétisante est non local, ce qui introduit des difficultés tant du point de vue théorique que numérique. La deuxième partie est consacrée à la présentation des méthodes que nous avons développées pour résoudre les systèmes linéaires qui apparaissent dans les codes de simulation. Nous avons utilisé une méthode de type gradient conjugué préconditionné et une méthode d'expansion couplée à la première méthode. Dans la troisième partie, nous démontrons que les singularités d'une configuration d'aimantation sont en nombre fini à l'intérieur du matériau. Nous utilisons, pour cela, la théorie introduite par Schoen et Uhlenbeck pour les fonctions minimisant l'énergie de Dirichlet sur la sphère unité. Nous avons du adapter cette théorie à l'énergie du micromagnétisme. Il a fallu, en particulier, tenir compte du caractère non local de l'énergie démagnétisante.
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