Calculs et visualisation en nombres complexes
Résumé
The aim of this thesis is to provide some effective ways to compute and visualize mathematical objects arising in complex analysis. In this scope, many mathematical problems prevent from using complex numbers as naturally as real numbers : indeterminations occuring during computations, high number of dimensions obscuring naive visualization methods, many-valued phenomena. On the computing side, some methods has been studied, leading to the definition of a programming model enabling the detection and the resolution of indeterminations. On the visualization side, methods dealing with the visualization of complex functions have been applied to the visualization of complex Ordinary Differential Equations solutions. These methods have been implemented as modules in a common environment enabling rapid prototypings of experiments, caracterized by a strong coupling of visualization and computations. The different applications presented in this document (numerical integration of differential equations defined by many-valued functions, visualisation of solutions together with the global error estimated during integration) have been developped in this environment.
Le but de cette thèse est de fournir des moyens de calcul et de visualisation d'objets mathématiques issus de l'analyse complexe. Dans ce cadre, de nombreux problèmes d'origine mathématique empêchent d'utiliser les nombres complexes aussi naturellement que les nombres réels : indéterminations dans les calculs, nombre élevé de dimensions empêchant les méthodes naïves de visualisation, phénomènes multiformes. Au niveau calcul, quelques méthodes ont été étudiées, menant à la définition d'un modèle de programmation permettant de gérer les indéterminations. Au niveau visualisation, des méthodes adaptées aux objets mathématiques complexes ont été mises au point, en particulier dans le cadre des solutions d'équations différentielles complexes. Toutes ces méthodes (calcul, visualisation) ont été implémentées sous forme de modules dans un environnement commun permettant le prototypage rapide d'expériences, axées notamment sur un couplage entre calcul et visualisation. Les différentes applications présentées dans le document (intégration numérique d'équations différentielles avec des fonctions multiformes, visualisation de solutions d'équations différentielles complexes, visualisation de l'erreur globale estimée pendant une intégration) y ont été intégrées.