Courbes de Bézier en géométrie algorithmique : approximation et cohérence topologique - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 1998

Bezier curves in Computational Geometry : approximation and topological coherence

Courbes de Bézier en géométrie algorithmique : approximation et cohérence topologique

Résumé

In this thesis, we propose a method for solving computational geometry problems posed for curve objects (in contrast with "linear" objects : sets of points, segments, polygons...). The objects we study are composite Bézier curves, chosen, on one hand, for the realism they assure in geometric modeling, and on another hand, for the ease of algorithmic processing that their properties offer. Our approach emphasizes the topological aspects of the addressed problems, avoiding the inconsistencies that floating point arithmetics solving of high degree algebraic equations (generated the direct processing of curves) often induces. This aim is reached through the use of converging polygonal approximations, that, in the case of Bézier curves, are naturally provided by the control polygons via the de Casteljau subdivision. Two of the computational geometry fundamental problems are addressed here, the convex hull and the arrangements, both of them in dimension 2. In the arrangements case, the notion of topology (combinatoric) is well known ; in the convex hull case, we define it rigorously. For the two problems, we show that one can obtain all the topological information defining (implicitely, but correctly and completely) the exact solution dealing exclusively with the polygonal approximations of the given objects. The theoretical results that we have obtained are made concrete by the design of algorithms proven correct and convergent and for which cost studies have been done. Some examples illustrate the functioning of these algorithms, demonstratind the validity of the proposed method.
Dans cette thèse, nous proposons une méthode de résolution des problèmes de la géométrie algorithmique posés pour des objets courbes (par opposition aux objets "linéaires" : ensembles de points, segments, polygones ...). Les objets que nous étudions sont des courbes de Bézier composites, choisies, d'une part, pour le réalisme qu'elles assurent dans la modélisation géométrique, et d'autre part, pour la facilité du traitement algorithmique que leurs propriétés offrent. Notre approche met l'accent sur les aspects topologiques des problèmes abordés, en évitant les incohérences que la résolution en arithmétique flottante d'équations algébriques de degré élevé (générées par le traitement direct des courbes) peut le plus souvent introduire. Cet objectif est atteint par l'utilisation d'approximations polygonales convergentes, qui dans le cas des courbes de Bézier sont naturellement fournies par les polygones de controle par l'intermédiaire de la subdivision de de Casteljau. Deux des problèmes fondamentaux de la géométrie algorithmique sont traités ici, l'enveloppe convexe et les arrangements, les deux en dimension 2. Dans le cas des arrangements, la notion de topologie (combinatoire) est bien connue ; dans celui de l'enveloppe convexe, nous la définissons rigoureusement. Pour les deux problèmes, nous montrons qu'il est possible d'obtenir toute l'information topologique définissant (de manière, il est vrai, implicite, mais correcte et complète) la solution exacte en travaillant exclusivement sur les approximations polygonales des objets donnés. Les résultats théoriques obtenus sont concrétisés par des algorithmes dont la convergence et la correction sont démontrées et pour lesquels des études de cout sont réalisées. Des exemples illustrent le fonctionnement de ces algorithmes, validant la méthode proposée.
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Dates et versions

tel-00004897 , version 1 (19-02-2004)

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  • HAL Id : tel-00004897 , version 1

Citer

Manuela Neagu. Courbes de Bézier en géométrie algorithmique : approximation et cohérence topologique. Modélisation et simulation. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1998. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00004897⟩
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