Asymptotic modelling of plates : boundary exact controllability, piezoelectricity
Modélisation asymptotique de plaques : contrôlabilité exacte frontière, piézoélectricité
Résumé
This dissertation deals with various aspects of plate modelling : boundary exact controllability of 2D structures, construction of models for piezoelectric plates, and analysis of singularities. The first chapter presents a result of boundary exact controllability for a 2D elastic plate. First, we solve an exact controllability problem for a plate with thickness h, by controlling only its interior and its lateral boundary. We choose interior controls that vanish as h tends to 0. In Chapters 2, 3, 4, we study the behavior of a piezoelectric plate when its thickness tends to 0. Particularly, in the dynamic case where the magnetic contribution is taken into account in the Maxwell equations. So, in one hand, we justify the thin plate models which assume that the electric potential is a second order polynomial in the thickness direction. On the other hand, we prove that in 2D models, the equilibrium equations depend on the electric potential only through the difference of potential between the horizontal faces. Moreover, we obtain the very contribution of the piezoelectric constants in the bending operator.
Le mémoire est consacré à divers aspects de la modélisation de plaques : contrôlabilité frontière de structures bidimensionnelles et construction de modèles de plaques piézoélectriques, en relation avec des situations technologiques d'actualité, puis étude de singularités. Dans le premier chapitre on obtient un résultat de contrôlabilité exacte frontière pour une plaque élastique bidimensionnelle. On résout d'abord le problème de contrôlabilité exacte pour une plaque tridimensionnelle d'épaisseur h en controlant uniquement l'intérieur et la frontière latérale de la plaque ; le choix effectué des contrôles tridimensionnels permet de faire disparaitre les contrôles intérieurs lorsque h tend vers 0. On étudie, dans les chapitres 2, 3 et 4, le comportement d'une plaque piézoélectrique lorsque son épaisseur tend vers 0, notamment, dans le cas complet ou la contribution magnétique dans les équations de Maxwell n'est pas négligeable. Ainsi, d'une part, on justifie les modèles qui supposent que dans une plaque mince le potentiel électrique peut être assimilé à un polynome du second degré en la coordonnée d'espace suivant l'épaisseur. Et, d'autre part, on explique pourquoi dans les modèles bidimensionnels les équations d'équilibre mécanique, ou les équations d'évolution, sont liées au potentiel électrique uniquement par la différence de potentiel entre les deux faces horizontales. De plus, on exhibe de manière précise la contribution des termes piézoélectriques dans l'opérateur de flexion. Le chapitre 5 est consacré au calcul de coefficients de singularité sur un ouvert bidimensionnel polygonal non convexe.
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