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Université Joseph-Fourier - Grenoble I (14/12/1999), Mazure Marie-Laurence (Dir.)
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Orthogonalité des B-splines de Chebyshev cardinales dans un espace de Sobolev pondéré
Khaled Melkemi1

Ce travail porte sur l'étude théorique et numérique des splines de Chebyshev. Ces fonctions généralisent les splines polynomiales tout en préservant l'essentiel de leurs propriétés. Elles offrent de plus un intérêt particulier pour le design géométrique grâce aux paramètres de forme qu'elles fournissent. Dans un premier temps, nous étudions les splines basées sur un espace de Chebyshev invariant par translations, et les propriétés de la B-spline correspondante. Dans un deuxième temps, nous montrons, sous certaines hypothèses, que la base des B-splines de Chebyshev est orthonormale dans un espace de Sobolev pondéré par une suite unique de nombres positifs. La meilleure approximation dans l'espace de splines de Chebyshev au sens de la norme associé au produit scalaire précédent est alors un projecteur local. Enfin, pour l'implémentation numérique des résultats précédents, nous utilisons une méthode de quadratures adaptées. Quelques exemples illustrant les effets de forme obtenus sont présentés. Ces résultats généralisent un résultat prouvé récemment par Ulrich Reif dans le cas particulier des splines polynomiales.
1:  LMC - IMAG - Laboratoire de Modélisation et Calcul
B-spline – Splines de Chebyshev – Espaces de Sobolev – Orthogonalité – Meilleure approximation

Orthogonality of cardinal Chebyshevian B-splines in a weighted Sobolev space
This work concerns the theoretical and numerical study of Chebyshevian splines. These functions generalize the polynomial splines and preserve most of their properties. Moreover, Chebyshevian splines have turned out to be useful in geometric design due to the shape parameters they provide. Firstly, we study the splines based on translation invariant Chebyshevian spaces. Then we show, under some conditions, that the Chebyshevian B-spline bases are orthonormal in a weighted Sobolev space associated with unique sequence of positive real numbers. Due to the properties of the B-splines, the best approximation in the space of Chebyshevian splines with respect to the associated norm is then a local projector. Finally, for the numerical implementation of the previous results, we use an adapted quadrature method. Some examples illustrating the possible shape effects are presented. These results extend the results recently obtained by Ulrich Reif in the particular case of polynomial splines.
B-spline – Chebyshevian – splines Sobolev – spaces orthogonality – best approximation

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