Factorial analysis of processes marginal distributions
Analyses factorielles des distributions marginales de processus
Résumé
We define an affinity measure of two probability density functions of p-dimensionnal random vectors by their inner product in the space of the square integrable functions. We compute it for different types of densities. We present the asymptotic properties of this measure in the Gaussian case and we prove in particular its asymptotic normality when the parameters are estimated by the maximum likelihood method. We use this measure to define principal components analysis of T densities (or characteristic functions) the aim being to evaluate their evolution by visualizing them in low dimensionnal spaces. We study its relations with Dual Statis method on variance matrices and we propose a convergent estimation. We show representations obtained on cardiology data and process data with variations on their parameters. To these densities indexed by t (t=1,...,T) we add a nominal variable Y on the indexes. This variable generates a density partition into Q categories. We define a discriminant analysis and suggest four rules to assign a new density to one of these Q categories. Two rules are probabilistic, based on the asymptotic normality of the affinity measure; the two others are geometrical, based on the distance derived from the affinity measure. We illustrate this method with archeological data (measures on Alsace castles stones). As an application, a dating method for the castles is proposed.
On définit la mesure d'affinité de deux densités de probabilité de p-vecteurs aléatoires par le produit scalaire de ces deux densités dans l'espace des fonctions de carré intégrable. On la calcule pour différents types de densités. On présente les propriétés asymptotiques de cette mesure d'affinité dans le cas de densités gaussiennes ; on montre en particulier la normalité asymptotique de cette mesure lorsque les paramètres de ces densités sont estimés par le maximum de vraisemblance. On utilise cette mesure d'affinité pour définir l'analyse en composantes principales de T densités de probabilité (ou des fonctions caractéristiques associées) avec l'objectif d'apprécier l'évolution de ces densités en les visualisant dans des espaces de dimension réduite. On en montre les liens avec la méthode Statis Dual (sur matrices de variance) et on en propose une estimation convergente. On montre les représentations obtenues sur des données de cardiologie et sur des données de processus gaussiens en en faisant varier les paramètres. Aux densités précédentes indicées par t (t=1,...,T) on ajoute une variable qualitative Y définie sur l'ensemble des indices. Cette variable engendrant une partition des densités en Q catégories, on définit l'analyse discriminante de ces densités et on propose quatre règles d'affectation d'une nouvelle densité gaussienne à l'une des Q catégories. Deux règles sont de type probabiliste (vraisemblance maximale) et s'appuient sur le caractère asymptotiquement gaussien de la mesure d'affinité ; deux règles sont de type géométrique (distance minimale) et s'appuient sur la distance induite par la mesure d'affinité. On applique cette méthode à des données archéologiques (mesures de pierres de châteaux d'Alsace), l'objectif étant de dater ces châteaux.
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