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Université Claude Bernard - Lyon I (11/12/2003), Schatzman Michelle (Dir.)
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Étude théorique de méthodes numériques pour les systèmes de réaction-diffusion; application à des équations paraboliques non linéaires et non locales
Magali Ribot1

On s'intéresse dans cette thèse à l'étude de méthodes numériques pour les systèmes de réaction-diffusion. Tout d'abord, on étudie le schéma par régularisation du résidu et ses extrapolations; ce schéma introduit un préconditionneur en espace lors de la discrétisation en temps. On prouve la stabilité en norme usuelle et la convergence en norme d'énergie de cette méthode et on l'applique au préconditionnement de méthodes spectrales par des méthodes d'éléments finis. Cette application nécessite le calcul d'asymptotiques précises des polynômes de Legendre et de leurs extrema. On prouve aussi la convergence et l'ordre deux d'une méthode de splitting semi-discrétisée en temps pour les systèmes de réaction-diffusion, l'approximation de Peaceman-Rachford. Enfin, on applique ces méthodes à la simulation d'une équation parabolique non linéaire pour modéliser la croissance de grains et à une équation parabolique non locale venant de la mécanique statistique et modélisant les systèmes autogravitants de fermions.
1:  MAPLY - Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Lyon
analyse numérique – systèmes de réaction-diffusion – méthodes de splitting – préconditionnement – méthodes spectrales – méthodes d'éléments finis – asymptotiques de polynômes – croissance de grains – systèmes auto-gravitants de fermions – méthode de la phase stationnaire – extrapolations de Richardson – théorie des semi-groupes.
http://maply.univ-lyon1.fr/~ribot/these.ps.gz http://maply.univ-lyon1.fr/~ribot/these.pdf

We are interested in the study of numerical methods for reaction-diffusion systems. We first consider the Residual Smoothing Scheme and its extrapolations; this scheme uses a spatial preconditioner for the time discretization. We prove the stability of this method for the usual norm and its convergence in energy norm and we apply this scheme to the preconditioning of spectral methods by finite elements methods. For this application, we need to compute precise asymptotic formulas of Legendre polynomials and of their extrema. Then, we study a semi-discretization in time of a splitting scheme, called the Peaceman-Rachford approximation and we show that this scheme is convergent and of order two. Eventually, we apply these methods to the simulation of a parabolic non linear equation modelizing grain growth and to the computation of solutions of a non local parabolic equation coming from statistical mechanics and modelizing the fermionic self-gravitating systems.
numerical analysis – reaction-diffusion systems – splitting methods – preconditioning – spectral methods – finite elements methods – asymptotics of polynomials – grain growth – fermionic self-gravitating systems – stationary phase method – Richardson extrapolation

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