Coalescence et fragmentation stochastiques, arbres aleatoires et processus de Levy

Gregory Miermont (1)

1 LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires

We study certain stochastic processes involving either coalescence or fragmentation, with the help of random trees and Levy processes. We first describe the semigroup of a class of ordered fragmentations related to excursions of Levy processes with no positive jumps. These are in turn related to the so-called additive coalescent process. We provide negative results on the semigroup of certain fragmentations with a property called self-similarity, which has been introduced by Bertoin. Then, we study two "dual" devices for fragmenting the so-called continuum stable tree of Duquesne and Le Gall, giving rise to a pair of self-similar fragmentations, whose characteristics are entirely determined. We also encode the genealogy of self-similar fragmentations with negative index into continuum random trees. Last, we study the inhomogeneous continuum random trees of Aldous, Camarri and Pitman, obtained as a limit of random discrete p-trees. We describe the height and width processes of such trees as functionals of bridges with exchangeable increments. We also prove asymptotic results on p-mappings, which are formulated in terms of reflecting Brownian bridge, by connecting this model with the p-trees.

Nous etudions certains processus stochastiques de coalescence ou de fragmentation a l'aide de codages par des arbres aleatoires ou des processus de Levy. Dans un premier temps, nous decrivons le semigroupe d'une classe de fragmentations "ordonnees" associees a des excursions de processus de Levy sans sauts positifs, et reliees au processus de coalescence stochastique additif. Nous demontrons des resultats negatifs sur le semigroupe de certaines fragmentations dites auto-similaires, introduites par Bertoin. Puis, nous etudions deux processus de fragmentation auto-similaires "duaux" obtenus a partir de l'arbre continu stable de Duquesne et Le Gall. Nous obtenons une caracterisation complete de leurs lois. Nous codons egalement la genealogie de toute fragmentation auto-similaire d'indice negatif dans un arbre continu. Enfin, nous etudions les arbres continus inhomogenes d'Aldous, Camarri et Pitman, obtenus comme limite continue des p-arbres discrets. Nous donnons l'expression de leurs processus de hauteur et de largeur a l'aide de ponts a accroissements echangeables. Nous obtenons egalement des resultats asymptotiques, formules en termes d'un pont brownien reflechi, sur le modele des p-applications a l'aide de leurs liens avec les p-arbres.

Mots clés: coalescence additive; fragmentation auto-similaire; arbre continu; arbre stable; processus de Levy

Domaines: Mathématiques [math]

Gregory Miermont. Coalescence et fragmentation stochastiques, arbres aleatoires et processus de Levy. Mathematics [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2003. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00004037⟩