Quelques applications des méthodes effectives en géométrie analytique

Dan Popovici (1)

1 IF - Institut Fourier

We generalize first the Ohsawa-Takegoshi-Manivel $L^2$ extension theorem to the case of jets of sections of Hermitian holomorphic line bundles on weakly pseudoconvex Kähler manifolds. Then we give a new simple proof of a theorem of Uhlenbeck and Yau that was the main technical difficulty in their proof of the Kobayashi-Hitchin correspondence on compact Kähler manifolds. This is done via a $(1,1)$-current interpreted a posteriori as the curvature current of some quotient bundle. Thirdly, we investigate a conjecture on the existence of regularizations of closed almost positive currents whose Monge-Ampère masses are under control on a compact not necessarily Kähler manifold. This would yield a new characterization of Moishezon manifolds generalizing those of Siu and Demailly given in response to the Grauert-Riemenschneider conjecture. We give a uniform estimate of the loss of positivity in Demailly's regularization-of-currents theorem and an effective version of the global generation property of multiplier ideal sheaves on pseudoconvex open sets of $(\bf C)^n.$

On généralise d'abord le théorème de prolongement $L^2$ d'Ohsawa-Takegoshi-Manivel au cas des jets de sections holomorphes d'un fibré en droites hermitien au-dessus d'une variété kählérienne faiblement pseudoconvexe. On donne ensuite une démonstration simple, en étudiant un courant de type $(1, 1),$ d'un résultat d'Uhlenbeck et Yau qui avait permis d'établir la correspondance de Kobayashi-Hitchin sur les variétés kählériennes compactes. Dans la troisième partie on étudie une conjecture sur l'existence de régularisations des courants quasi-positifs fermés, avec contrôle des masses de Monge-Ampère, qui permettrait d'obtenir une nouvelle caractérisation des variétés de Moishezon généralisant celles de Siu et de Demailly qui répondaient à la conjecture de Grauert-Riemenschneider. On donne une estimation uniforme de la perte de positivité dans le théorème de régularisation des courants de Demailly et on obtient une version effective de la génération globale des faisceaux d'idéaux multiplicateurs sur un ouvert pseudoconvexe de $(\bf C)^n.$

Mots clés: Courant quasi-positif fermé; ensemble analytique; faisceau d'idéaux multiplicateurs; faisceau de jets; fibré holomorphe hermitien; fonction plurisousharmonique; masses de Monge-Ampère; nombre de Lelong; sous-fibré faiblement holomorphe; variété kählérienne faiblement pseudoconvexe

Domaines: Mathématiques [math]

Dan Popovici. Quelques applications des méthodes effectives en géométrie analytique. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00004007⟩